ハワイの耳飾り

ハワイの耳飾り †

ハワイの耳飾り (ハワイのみみかざり、ハワイの耳輪とも、hawaiian earring)とは、反例としてとても重要な位相空間である。

定義 †

下で定義される $H\subset \mathbb{R}^2$ に相対位相を入れたものをハワイの耳飾りと呼ぶ。 $$H:=\bigcup_{n \in \mathbb{N} } \left\{ (x,y) \in {\mathbb{R}}^2\mid \left(x- \frac{1}{n}\right)^2+y^2=\left(\frac{1}{n}\right)^2 \right\}$$

入れ子状になった円周が原点のみを共有しているような位相空間である。

位相的性質 †

• 可縮でも局所可縮でもない。しかし局所弧状連結であり局所連結である。
• 局所単連結ではなく半局所単連結でもない。
• ハワイの耳飾りの錐は(錐であるから)可縮で単連結であるから半局所単連結であるが、局所単連結ではない。
• 可算無限個のループからなるω-ブーケと直感的に同相であるように見えるが実際には同相ではない。ω-ブーケはCW複体?であり局所可縮であることからもわかる。これら二つはホモロジー群も異なる。具体的にはω-ブーケにおいては全てのループを通るような道は取れないがハワイの耳飾りにおいてはだんだん道を内側に入れて小さくしていくことによって全部のループを通るような道が存在してしまうハワイの耳飾りの基本群、一次ホモロジー群の方が大きくなることからもわかる。

関連項目 †

• 位相空間
• 可縮空間
• 基本群
• 局所単連結空間
• 半局所単連結空間