ベクトル解析

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本稿においては、解析学において、微積分を縦横無尽に応用していくための基礎となる、いわゆるベクトル解析について述べる。特徴としては、2, 3次元に限定することなく、Euclid空間に埋め込まれた $C^\infty$ 級多様体(Euclid空間内の多様体と呼ぶこととする)上の微積分を扱っている点と、多様体上の積分を、微分形式のみでなく、測度を使って扱っている点が挙げられる。したがって、通常のベクトル解析とはかなり異なるものであると考えられる。想定する主な読者層としては、

  • 既存のベクトル解析の本にはもう少しかっちりしていて欲しい。
  • ベクトル解析を勉強したいが、幾何にはあまり慣れておらず、多様体論の本を最初から読んでいくのは方向性が違う気がする。
  • 測度論には慣れており、実解析で、境界上での積分や関数空間も統一的に考えるために、ベクトル解析を応用したい。

と言うタイプである。予備知識としては、Euclid空間における微分の基本事項(Euclid空間における微積分1に書いてある程度の内容)、テンソル積を含む線形空間の基本事項(速習「線形空間論」に書いてある程度の内容)、測度論(入門テキスト「測度と積分」の 1$\sim$5と7, 8に書いてある程度の内容)に慣れていることが望ましい。

参考文献

  • 杉浦 光夫, "解析入門II"
  • 松島 与三, "多様体入門"
  • 新井 朝雄, "現代ベクトル解析の原理と応用"

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Last-modified: 2020-10-24 (土) 01:46:18 (3d)