ベクトル解析

ベクトル解析 †

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本稿においては、解析学において、微積分を縦横無尽に応用していくための基礎となる、いわゆるベクトル解析について述べる。特徴としては、2, 3次元に限定することなく、Euclid空間に埋め込まれた $C^\infty$ 級多様体（Euclid空間内の多様体と呼ぶこととする）上の微積分を扱っている点と、多様体上の積分を、微分形式のみでなく、測度を使って扱っている点が挙げられる。したがって、通常のベクトル解析とはかなり異なるものであると考えられる。想定する主な読者層としては、

• 既存のベクトル解析の本にはもう少しかっちりしていて欲しい。
• ベクトル解析を勉強したいが、幾何にはあまり慣れておらず、多様体論の本を最初から読んでいくのは方向性が違う気がする。
• 測度論には慣れており、実解析で、境界上での積分や関数空間も統一的に考えるために、ベクトル解析を応用したい。

と言うタイプである。予備知識としては、Euclid空間における微分の基本事項（Euclid空間における微積分1に書いてある程度の内容）、テンソル積を含む線形空間の基本事項（速習「線形空間論」に書いてある程度の内容）、測度論（入門テキスト「測度と積分」の 1$\sim$5と7, 8に書いてある程度の内容）に慣れていることが望ましい。
一般の微分可能多様体上のテンソル解析については、テンソル解析を参照されたい。

• ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分

この章では、Euclid空間における微積分1で論じたEuclid空間の開集合上で定義された関数の微分を、Euclid空間内の多様体上で定義された関数の微分まで一般化する。

• ベクトル解析2：微分形式

この章では、多様体上の微分形式の外微分、外積、引き戻しなどについて述べる。

• ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量

この章では、Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ におけるHodgeの $\star$ 作用素、Euclid空間内の多様体上の計量について述べ、ベクトル積、勾配、発散、回転、ラプラシアンなどの座標の取り方によらない表し方について述べる。またPoincaréの補題についても述べる。

• ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分

この章では、Euclid空間内の多様体上に自然に定義される測度（Riemann測度）による積分について述べる。この測度はEuclid空間のLebesgue測度の一般化である。例えば $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体（超曲面）のRiemann測度は面積を表す。

• ベクトル解析5：多様体の向き

この章では多様体の向きと、向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場、向き付けられた多様体内の滑らかな境界を持つ開集合の境界上の外向き単位法線ベクトル場について述べる。

• ベクトル解析6：Stokesの定理

この章では、微分形式によるStokesの定理について述べる。またStokesの定理の系として、Gaussの発散定理や古典的なStokesの定理について述べる。

参考文献 †

• 杉浦 光夫「解析入門II」
• 松島 与三「多様体入門」
• 新井 朝雄「現代ベクトル解析の原理と応用」

次に読む †

• 超関数とFourier変換、Sobolev空間
• テンソル解析

関連項目 †

• Euclid空間における微積分1
• 速習「線形空間論」
• 入門テキスト「測度と積分」
• 測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度
• 測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質
• 超関数とFourier変換、Sobolev空間
• テンソル解析

この記事が活かせそうな文献 †

• 吉田 善章「電磁気学とベクトル解析」

• 新井 朝雄「熱力学の数理」