モチヴィックコホモロジー †モチヴィックコホモロジー(motivic chomology)とは、代数幾何学に登場する種々のコホモロジー理論の中で、最も普遍的なコホモロジーである。ここでは、Voevodskyが構築したモチーフの理論を紹介しよう。
謝罪コメント †現環境下で何かしらコホモロジー論の記事を執筆するのは非常に困難であるということを事前に確認しておけばよかった。それを怠った執筆者に責任があります。というわけでこの記事は今後アップデートされることはないと思われます。読者の皆様には大変ご迷惑をおかけして申し訳ありません。新環境に移行後あらためて「モチヴィックコホモロジー」の記事を執筆いたします。気長にお待ちいただければ幸いです。なお、この記事は今後もここに置いておきます。 動機 †代数的対応(algebraic correspondence) †
$R$ を代数、 $k$ を体とする。以下本稿で登場するスキームは特に断らない限り、すべて $k$ 上分離的かつ有限型で滑らかであると仮定しよう。また、前層は特に断らない限り、アーベル群の圏に値を持つとする。スキーム $X$ から $Y$ への代数的対応を定義する。 定義 †
対象が $k$ 上分離的かつ有限型で滑らかなスキームで、射は代数的対応であるような圏のことを ${\rm Cor}({\rm Sm}/k,R)$ あるいは単に ${\rm Cor}_{k}$ と記すことにしよう。 スキームの射 $f\colon X \longrightarrow Y$ に対して、そのグラフ$\Gamma_{f}$ は $X$ から $Y$ への基本対応である。これにより、いつでも ${\rm Sm}/k$ を ${\rm Cor}_{k}$ の部分圏と見なそう。 なぜ代数的対応を考えるのか? †
移送構造(Transfers structure) †
${\rm Cor}_{k}$ 上の前層のことを移送構造付き前層(presheaf with transfers)という。そのような前層のなす圏を ${\bf PST}(k,R)$ とかく。 ${\bf PST}(k,R)$ は十分多くの入射的対象を持つアーベル圏である。 例 †
$R_{tr}(X)$ は米田埋め込み ${\rm Cor}_{k} \longrightarrow {\bf PST}(k,R)$ によるスキーム $X$ の像であり、したがって、任意の移送構造付き前層 $\mathscr{F}$ に対して、 $$ {\rm Hom}_{{\bf PST}(k,R)}(R_{tr}(X),\mathscr{F})\simeq \mathscr{F}(X) $$ を満たす。さらに $R_{tr}(X)$ は我々が考える多くの位相で層になる。 定義 †前層 $\mathscr{F}$ が $\mathbb{A}^1$ ホモトピー不変であるとは、任意のスキーム $X$ に対して、射影 $X\times \mathbb{A}^{1}\longrightarrow X$ が誘導する射 $\mathscr{F}(X)\longrightarrow \mathscr{F}(X\times \mathbb{A}^{1})$ が常に同型となることをいう。 なぜ、$\mathbb{A}^1$ なのか? †位相幾何学のような柔らかい図形を扱う分野と違って、代数幾何学に登場する多様体たちはより硬く、歪んだ多様体を人の手で勝手に真っすぐに矯正したり、平たく伸ばしたりはできない。局所的には非輪状な層たちも、多様体全体で大域切断すると、歪みを反映し、その歪な姿が “コホモロジー” として現れる。しかし、全体でも真っすぐな直線 $\mathbb{A}^1$ は、積をとっても、元々の多様体の曲がり具合に影響を与えない。 例 †
複体 $C_{*}\mathscr{F}$ と単体的アーベル群 $C_{\bullet}\mathscr{F}$ †$$ \Delta^{n}={\rm Spec} (k[t_{0},\cdots,t_{n}])/(\sum_{i=0}^{n} t_{i}-1)\simeq \mathbb{A}^{n} $$ とし、$i$ 次面写像 $$\partial_{i}\colon \Delta^{n}\longrightarrow \Delta^{n+1} $$ を面 $t_{i}=0$ への自然な同型として定義し、$i$ 次退化を $$ s_{i}\colon \Delta^{n}\longrightarrow \Delta^{n-1} ; (t_{0},...,t_{n})\longrightarrow (t_{0},...,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},...,t_{n}) $$ と定めると、$(\Delta^{\bullet},\partial_{*},s_{*})$ は余単体的スキームになる。 アーベル群に値を持つような前層 $\mathscr{F}$ とスキーム $X$ に対して、複体 $$ C_{*}\mathscr{F}(X) ~ \colon ~ \cdots \longrightarrow \mathscr{F}(X\times \Delta^{2})\longrightarrow \mathscr{F}(X\times \Delta^{1}) \longrightarrow \mathscr{F}(X) \longrightarrow 0 $$ 及び 単体的アーベル群 $$ C_{\bullet}\mathscr{F} \colon n \longmapsto \mathscr{F}(X\times \Delta^{n}) $$ が考えられる。Dold-Kanの同型定理によれば、単体的アーベル群に値を持つ前層 $C_{\bullet}\mathscr{F}$ から構成される前層の複体 $C_{\bullet}^{DK}\mathscr{F}$ は $C_{*}\mathscr{F}$ と擬同型である。
チェインホモトピー †前層、または前層からなる複体 $\mathscr{F}$ と閉点 $t \in \mathbb{A}^1$ とし、包含 $i_{t}\colon X\longrightarrow X\times \mathbb{A}^1;x\longmapsto (x,t)$ が誘導する準同型 $i_{t}^{*}=\mathscr{F}(i_{t})\colon \mathscr{F}(X\times \mathbb{A}^1)\longrightarrow \mathscr{F}(X)$ について、 $$ \mathscr{F} が \mathbb{A}^1 ホモトピー不変 \Longleftrightarrow i_{0}^{*}=i_{1}^{*} $$ となることが知られている。 例 †
ウェッジ積 †点付きスキーム $(X,x)$ に対して、射 $x\colon {\rm Spec} (k) \longrightarrow X$ が誘導する射 $x_{*}\colon R\longrightarrow R_{tr}(X)$ の余核 を $R_{tr}(X,x)$ と書くことにしよう。このとき、$R_{tr}(X)=R\oplus R_{tr}(X,x)$ である。 $(X_{1},x_{1}),\cdots,(X_{n},x_{n})$ を $n$ 個の点付きスキームとすると、 $$ R_{tr}(X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n})={\rm Coker}(\oplus_{i} x_{i} \colon \bigoplus_{i} R_{tr}(X_{1}\times \cdots \hat{X}_{i}\times \cdots \times X_{n})\longrightarrow R_{tr}(X_{1}\times \cdots \times X_{n})) $$ モチヴィックコホモロジーの定義 †
整数 $q \geq 0$ に対して、$R$ 係数のモチヴィック複体(motivic complex) $R(q)$ を次のように定義する。 $$ R(q):=C_{*}R_{tr}(\mathbb{G}_{m}^{\wedge q})[-q] $$ ただし、ここでの $\mathbb{G}_{m}$ は点付きスキーム $(\mathbb{A}^{1}-0,1)$ のことである。 定義 †モチヴィック複体 $R(q)$ をスキーム $X$ 上のZariski層からなる複体とみたとき、そのコホモロジー群 $$H^{p,q}(X,R)=\mathbb{H}_{Zar}^{p}(X,R(q))$$ を $X$ のモチヴィックコホモロジー群という。
qfh位相で †
qfh位相はVoevodskyの初期の仕事で導入された位相の一つである。彼はある種の有効なサイクルのなす群に値を持つ前層をどのような位相で層化したら、表現可能か? という問題への答えの一つとして、この位相を導入した。彼の結果は従来 $\mathbb{C}$ 上では研究が進んでいたChow多様体の理論の一般化とも言える。ここでは ${\rm Sm}/k$ ではなく、より広い圏 ${\rm Sch}/k$ 上のqfh位相について考えよう。 定義 †
$\mathscr{F}$ をサイト $({\rm Sch}/k)_{qfh}$ 上のアーベル群に値を持つ層とする。 Nisnevich位相で †
cdh位相で †
エタール位相で †
Zariski位相で †
モチーフの三角圏 †
いくつかの代数多様体のモチーフ †
MilnorのK理論との関連 †
高次Chow群との関連 †
双変型サイクルコホモロジー(bivariant cycle cohomology) †
$\mathbb{A}^{1}$ ホモトピー不変性 †
例えば、あなたが代数幾何学をHartshorneの有名な教科書で勉強した場合、実はすでに $\mathbb{A}^{1}$ ホモトピー不変性と出会っていることになる。二章の命題 $6.6$ に同型 $$ {\rm Cl}(X)\simeq {\rm Cl}(X\times \mathbb{A}^{1}) $$ が書かれている。あるいはそうでないにしても、可換環 $A$ 上の多項式環 $A[t]$ の単元全体は $A$ の単元全体と等しいことを代数学の授業で習う。 $$ A^{\times}=A[t]^{\times}. $$ 他の様々な代数的な対象もこの性質を持つ。代数的K理論やsmooth base change性を持つエタールコホモロジー等、同様の性質を満たす対象が沢山ある。MorelとLevineの代数的コボルディズム理論、代数多様体上のある種のサイクルのなすChow群や高次Chow群などもそうである。位相幾何学における多くの重要な対象が、$I=[0,1]$ ホモトピー不変であるように、代数幾何学における多くの重要な対象(もちろんすべてではない)が $\mathbb{A}^{1}$ ホモトピー不変なのである。ここでは、この $\mathbb{A}^{1}$ ホモトピー不変性を持った対象をまとめて扱うためのVoevodskyの手法に軽く触れよう。なお、ここではモデル圏についての多少の知識を援用したい。詳しくはモデル圏を参照。 $\mathbb{A}^{1}$ホモトピー圏とモチーフの三角圏 †
被約冪作用素(reduced power operation) †
Eilenberg-MacLane空間 †
ノルム剰余の同型定理 †
関連項目 † |