レトラクト †レトラクト (retract) とは、位相空間のホモトピー論的な情報をある程度保つ「骨組み」となるような部分空間である。 ここではレトラクト (retract)、変形レトラクト (deformation retract)、強変形レトラクト (strong deformation retract)、それらを特徴づける写像であるレトラクション (retraction)について定義する。 (強)変形レトラクトは(強)変位レトラクト、レトラクションは縮射と訳されることもある。(なお、この定義には本項の記述とは異なる流儀がある。強変形レトラクトの項を参照。) 定義 †レトラクト †位相空間 $X$ とその部分空間 $A\subset X$ に対して$A$ が $X$ のレトラクトであるとは、ある連続写像 $r:X \to A$が存在して,任意の $a\in A$ に対して $r(a)=a$ となることをいう。このときの連続写像 $r$ をレトラクションと呼ぶ。または包含写像を合成して $r:X\to X$ としたものをレトラクションと呼ぶこともある。なお、このとき $A=\{x\in X\,|\,r(x)=x\}$ と表されることから、$X$ が ハウスドルフであるときにそのレトラクト $A$ は必ず $X$ の閉集合となる。 変形レトラクト †$A$ が $X$ の変形レトラクトであるとは、ある連続写像 $F:X\times [0,1]\to X$ が存在して $F$ は恒等写像からレトラクションへのホモトピーとなることを言う。これはつまり、任意の $x\in X$ に対して $F(x,0)=x$ であり $t=1$に対しては $F(x,1)\in A$ を満たし、さらに $a\in A$ に対しては $F(a,1)=a$を満たすことをいう。これは言い換えれば包含写像がホモトピー同値写像となるような部分空間と言い換えることもできる。このときの $F$ を変形レトラクションと呼ぶ。 強変形レトラクト †$A$ が $X$ の強変形レトラクトであるとは、ある変形レトラクション $F:X\times [0,1]\to X$が存在し、さらに任意の$(a,t)\in A\times [0,1]\subset X\times [0,1]$ に対して $F(a,t)=a$ を満たすことを言う。これは部分空間 $A$ を動かさずに恒等写像をレトラクションへとホモトピーで変形していることに注意されたい。このときの $F$ を同様に強変形レトラクションと呼ぶ。 なお、文献によっては強変形レトラクトを単に変形レトラクトと呼ぶことがある、例えば代数的トポロジーの代表的な教科書である Allen Hatcher の Algebraic Topology においてはこの項における強変形レトラクトの定義をもって deformation retract と呼んでいる。 各性質の間の関係 †定義から明らかに、強変形レトラクト $\Longrightarrow$ 変形レトラクト $\Longrightarrow$ レトラクト であるがこれは実際に逆は成り立たず反例が存在する。
なお、位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ に対して、$A$ が $X$ の変形レトラクトであることと強変形レトラクトであることは、次のような場合には同値となる。
重要な例 †
関連項目 † |