全称記号と存在記号

定義

 $X$ を集合とし、元 $x \in X$ ごとに真偽が与えられている命題を $P(x)$ とする。このとき次の3つの記法を導入する。

  • 任意の $x \in X$ に対して $P(x)$ が真である」ことを、$\forall x \in X , P(x)$ と書きあらわす。
  • 「$P(x)$ が真であるような $x \in X$ が存在する」ことを、$\exists x \in X , P(x)$ と書きあらわす。
  • 「$P(x)$ が真であるような $x \in X$ が一意に(ただひとつだけ)存在する」ことを、$\exists ! x \in X , P(x)$ と書きあらわす。

ちなみに記号 $\forall, \exists$ はそれぞれ「ALL」、「EXIST」の頭文字を回転させたものである。

具体例

  • $X= \{ 1,2,3,4,5 \}$ とすると、
    • $\forall x \in X , x <6$ (「任意の $x \in X$ に対して $x < 6$ が成り立つ」と読む。この命題は真)
    • $\exists x \in X , x < 4$ ( $x<4$ であるような $x \in X$ が存在する」と読む。実際 $x=1,2,3$ が条件を満たすのでこの命題は真。)
  • $\exists !x \in X , x < 2$ ( $x<2$ であるような $x \in X$ が一意に存在する」と読む。実際 $x=1$ だけが条件を満たすのでこの命題は真。)
  • 「 $\forall x \in X , x <6$ 」 が成り立つので、特に「 $\exists x \in X , x <6$ 」も成り立つ。しかし「 $\exists x \in X , x < 4$ 」が成り立つからといって「 $\forall x \in X , x <4$ 」が成り立つわけではない。
  • 「 $\exists !x \in X , x <2$ 」 が成り立つので、特に「 $\exists x \in X , x <2$ 」も成り立つ。しかし「 $\exists x \in X , x < 4$ 」が成り立つからといって「 $\exists !x \in X , x <4$ 」が成り立つわけではない。
  • $M$ を実数とする。このとき、 $\forall$ と $\exists$ を入れ替えた次の2つの命題を考える
    (1)「 $\forall M>0 , \exists n \in \mathbb{N} , M < n$ 」(""Archimedesの原理?"")
    (2)「 $\exists n \in \mathbb{N} , \forall M>0 , M < n$ 」
    命題(1)は「任意の正の実数 $M$ に対して、『 $M < n$ となるような自然数 $n$ 』が存在する」と読む。これは $M$ ごとに $n$ を決めてよいので、この命題は真である。(議論を端折って結果だけ書くと $n =$ 「 $M$ の整数部分」$+1$ とすればよい。実際は循環論法にならないように気を付ける必要がある。詳しくは実数論?を参照)
    一方、命題(2)は「『任意の正の実数 $M$ に対して $M < n$ となるような』自然数 $n$ が存在する」言いかえると「ある自然数 $n$ があって、『どんな正の実数 $M$ に対しても $M < n$ となる』」と読む。この場合は先に $n$ が指定されてから $M$ が自由に動くので、命題(1)よりも主張が強くなっていて、命題(2)は成り立たない。(どんな正の実数よりも大きくなるような特定の自然数は存在しない)

集合論の初歩

論理と命題 / 集合の基本的な用語、集合の演算 / 全称記号と存在記号 / 写像、像、逆像、写像のグラフ / 写像の合成、写像の拡大と制限 / 選択公理について / 単射、全射、全単射、逆写像 / 演算と代数構造 / (関係、同値関係、商集合)? / 部分集合族、べき集合 / (初歩的な順序集合)? / (Zornの補題)? / 集合の濃度 / 可算集合、非可算集合? / (濃度の演算)?

参考文献

原 啓介「集合・位相・圏 数学の言葉への最短コース」

松坂和夫「集合・位相入門」

関連項目



トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2020-09-22 (火) 09:42:38 (228d)