単射、全射、全単射、逆写像

定義

 $X$、$Y$ を集合とし、$f:X \longrightarrow Y$ を写像とする。

  • $f$ が単射であるとは、任意の $a,b \in X$ に対して「$f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$」であることである。対偶をとって「$a \ne b \Rightarrow f(a) \ne f(b)$」と言い替えたほうが直感的にわかりやすいかもしれない。
  • $f$ が全射であるとは、任意の $y \in Y$ に対して$f(x)=y$ となるような $x \in X$ が存在することである。つまり $f(X)=Y$ である。
  • $f$ が全単射であるとは $f$ が全射かつ単射であることである。集合 $X$ と $Y$ の間に全単射が存在するとき「$X$ と $Y$ の間に $1$ 対 $1$ の対応がある」などといって、$X$ と $Y$ はある意味で「同じくらいの元の数がある」という解釈がなされたり(詳しくは集合の濃度を参照)、$X$ と $Y$ を集合として同一視したりする。
     $f:X \longrightarrow Y$ に対して次のような略記記号が使われることがある。
    • $f$ が全射であることを $f:X \twoheadrightarrow Y$ と書く。
    • $f$ が単射であることを $f:X \hookrightarrow Y$ と書く。
  • 全単射 $f:X \longrightarrow Y$ が与えられたとき、以下のように「$f$ の対応を逆にした写像 $f^{-1}:Y \longrightarrow X$」を考えることができる(逆像 $f^{-1}$ と同じ記号を使っているが別概念である)。
    任意の $y \in Y$ に対して $y$ の $f$ による逆像 $f^{-1}(y)$ を考える。$f$ は全射なので逆像 $f^{-1}(y)$ は空集合ではない(なぜならば、全射の定義は $y=f(x)$ となるような $x \in X$ が存在することなので、少なくとも、この $x$ が $f^{-1}(y)$ の元となる)。さらに $f$ は単射なので逆像 $f^{-1}(y)$ は一点集合になる(なぜならば、もし $x$、$x' \in f^{-1}(y)$ と逆像の元をふたつ取ってきたとすると、逆像の定義から $f(x)=f(x')=y$ であり、$f$ の単射性より $x=x'$ となる)。よって、各 $y \in Y$ に対して $f^{-1}(y)$ の唯一の元 $x$ を与える対応を $f^{-1}$ と置くと、これは写像となる。この写像 を $f$ の逆写像という。

具体例

 $2$ 次関数 $f(x)=x^2$ をいろいろな定義域、終域で考えて、$f$ が全射、単射、全単射のいづれになるか考える。

  • $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ のとき、$f$ は全射、単射のいづれでもないので、もちろん全単射でもない。
  • $f:\mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)$ のとき、$f$ は全射だが単射ではない。よって全単射ではない。
  • $f:[0,\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ のとき、$f$ は単射だが、全射ではない。よって全単射ではない。
  • $f:[0,\infty) \longrightarrow [0,\infty)$ のとき、$f$ は全射であり、単射でもある。したがって全単射である。このとき逆写像は $f^{-1}(x)= \sqrt{x}$ である。

基本的な性質

 以下、$X$、$Y$、$Z$ を集合とする。

  • (全射の特徴づけ)写像 $f:X \longrightarrow Y$ に対して次の $3$ つは同値((1)$\Rightarrow$ (2)で選択公理を使う )。
    (1)$f$ は全射である。
    (2)$g:Y \longrightarrow X$ であって、$f \circ g =id_Y$ となるような $g$ が存在する。
    (3)任意の集合 $S$ と任意のふたつの写像 $g_1: Y \longrightarrow S$、$g_2: Y \longrightarrow S$ に対して、$g_1 \circ f =g_2 \circ f$ ならば $g_1=g_2$ が成り立つ。
    ※(2)の $g$ を(右から $f$を打ち消すので ) $f$ の右逆写像という。右逆写像は一意とは限らない。 ※(3)の性質は圏論の言葉を使うとエピ射?であるという。つまり圏 $\mathsf{Set}$ に於けるエピ射は全射と一致する。
  • (単射の特徴づけ)写像 $f:X \longrightarrow Y$ に対して次の $3$ つは同値。
    (1)$f$ は単射である。
    (2)$g:Y \longrightarrow X$ であって、$g \circ f =id_X$ となるような $g$ が存在する。
    (3)任意の集合 $S$ と任意のふたつの写像 $g_1: S \longrightarrow X$、$g_2: S \longrightarrow X$ に対して、$f \circ g_1 =f \circ g_2$ ならば $g_1=g_2$ が成り立つ。
    ※(2)の $g$ を(左から $f$を打ち消すので ) $f$ の左逆写像という。左逆写像は一意とは限らない。
    ※(3)の性質は圏論の言葉を使うとモノ射?であるという。つまり圏 $\mathsf{Set}$ に於けるモノ射は単射は一致する。
    ※上記の(全射の特徴づけ)と(単射の特徴づけ)を見比べると写像の矢印の向きが逆なだけでそれ以外は形式的に同じように見える。この意味で全射と単射は「双対的な概念」である。
  • (全単射の特徴づけと逆写像の一意性)写像 $f:X \longrightarrow Y$ に対して次の $2$ つは同値。
    (1)$f$ は全単射である。
    (2)$g:Y \longrightarrow X$ であって、$g \circ f =id_X$ かつ $f \circ g =id_Y$ となるような $g$ 唯一存在する。この $g$ は $f$ の逆写像 $f^{-1}$ にほかならない。
  • 写像 $f:X \longrightarrow Y$、$g:Y \longrightarrow Z$ を考える。このとき合成写像 $g \circ f:X \longrightarrow Z$ について次の $3$ つが成り立つ。
    (1)$f$ と $g$ が全射ならば $g \circ f$ も全射である。
    (2)$f$ と $g$ が単射ならば $g \circ f$ も単射である。
    (3)したがって、$f$ と $g$ が全単射ならば $g \circ f$ も全単射である。
  • 写像 $f:X \longrightarrow Y$ が全単射であるとする。このとき、逆写像 $f^{-1}:Y \longrightarrow X$ も全単射である。よって「逆写像の逆写像」$(f^{-1})^{-1}:X \longrightarrow Y$ を考えることができるが、$(f^{-1})^{-1}=f$ が成り立つ。
  • $X$ を有限集合とする。このとき $X$ から自分自身への写像 $f:X \longrightarrow X$ について、次の3つは同値。
    (1)$f$は全射である。
    (2)$f$は単射である。
    (3)$f$は全単射である。

集合論の初歩

論理と命題 / 集合の基本的な用語、集合の演算 / 全称記号と存在記号 / 写像、像、逆像、写像のグラフ / 写像の合成、写像の拡大と制限 / 選択公理について / 単射、全射、全単射、逆写像 / 演算と代数構造 / (関係、同値関係、商集合)? / 部分集合族、べき集合 / (初歩的な順序集合)? / (Zornの補題)? / 集合の濃度 / 可算集合、非可算集合? / (濃度の演算)?

参考文献

原 啓介「集合・位相・圏 数学の言葉への最短コース」

松坂和夫「集合・位相入門」

関連項目



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Last-modified: 2020-10-14 (水) 00:11:33 (206d)