圏論の参考書

圏論の参考書 †

ここでは圏論に関する標準的な教科書を紹介する。圏論の項目においても述べているが、圏論は数学を記述する言葉としての使用される側面もあれば、特定のクラスの圏自身の性質を研究する純粋理論もあり、両者において必要とされる知識は大きく異なる。以下においては、目標を明確化したうえで各分野に応じた教科書を紹介する。

言葉としての圏論 †

入門書 †

圏や関手、自然変換や圏同値などといった基礎的な圏論の言葉を理解するだけであれば、以下のような入門書を読む必要性は特にない。以下の節に述べるホモロジー代数など具体的な応用分野を対象にした圏論の本に最低限の解説があり、それらを読み始めれば十分である。ただし、数学的対象の取り扱いに不慣れな場合や、米田の補題やKan拡張といった初歩の圏の一般論を学習する場合には以下の圏論の教科書が有用と考える。AwodeyやLeinsterは要求される数学的知識が少なく、初学者にも比較的読みやすい。また、Leinsterは各セクションを動画で解説したシリーズもYouTube上で公開されている。Mac Laneは圏論の教科書の定番として名高いものの、多くの数学の分野を元に具体例を紹介することから、数学の初学者には読みづらい可能性がある。また、辞書として用いるには現代的には若干内容に乏しい。Borceuxは説明内容が幅広い上に証明なども丁寧であるため、現在圏論の辞書として用いるには最も適した書籍であると思われる。Web上の文献としては、alg-d.comなどにKan拡張の理論などが解説されている。また前述のベーシック圏論の原著は著者がarXivにて公開されている。

読み物 †

入門書 †

異なる切り口の教科書 †

より発展的な教科書 †

ホモロジー代数で用いられる圏論 †

ホモロジー代数においては、加法圏・アーベル圏・導来圏といったクラスの圏が用いられる。アーベル圏などについては圏論の基礎においても記述があるが、河田などの標準的なホモロジー代数の本を直接読んでも問題はないだろう。圏論の基礎においては、Abel圏上でもMono射の同値類を取ることで元を取らずとも同様の議論を行える手法を解説している点はユニークだが、実用面ではMitchellの埋め込み定理を認めるケースが多い。代数学の参考書（ホモロジー代数）のページも参照。

ホモトピー論で用いられる圏論 †

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圏論的論理学と（高次でない）トポス理論 †

計算機科学で用いられる圏論 †

計算機科学においては、型理論、代数的データ型や再帰関数、プログラミング言語の表示的意味論の記述のために圏が用いられる。関連して実際によく使われる圏としてはCPO?・Rel?・Allegory?・クライスリ圏?・いわゆる“Hask?”などが挙げられる。

$\infty$圏論で用いられる圏論 †

参考にしたサイト †

• mod_poppo, 雑記帳: 圏論の入門書（2018年版）