弧状連結空間

弧状連結空間 (道連結空間、path connected space, pathwise connected space) とは連結性よりも強く"つながっている"位相空間でありしばしば連結性よりもつながっていることが直感的で理解しやすい。しかしながら弧状連結性も直感との乖離が少しあるため注意が必要である。また$n$-連結?との関係で$0$-連結とも呼ばれる場合がある。

定義

空でない位相空間 $X$ が弧状連結であるとは、任意の二点 $x,y\in X$ に対してそれらを繋ぐが存在することを言う。すなわちある連続写像 $\gamma :[0,1]\to X$ が存在し $\gamma(0)=x,\gamma(1)=y$ を満たすものが存在することを言う。ただし空集合は連結の時との整合性のため弧状連結でないと約束する。*1

さらに異なる2点に対しては $\gamma$ として単射な道が取れるとき弧連結(arc-connected,arcwise connected)という。弧連結 $\Longrightarrow$弧状連結であるがハウスドルフでは同値となる。弧状連結であるが弧連結でない例として二つの原点を持つ直線?(ハウスドルフでなく $T_1$ である。)が有名である。しかしながら上で述べたように弧連結はハウスドルフである場合には弧状連結と同値となってしまうことから幾何においては扱われることは少ない。

弧状連結成分

位相空間 $X$ にの2点に対して「それらを繋ぐ道が存在する」という関係は同値関係となる。この同値関係による同値類弧状連結成分 (path-connected component) と呼ぶ。連結成分同様、弧状連結成分全体の濃度は位相不変量となりさらにホモトピー不変量?となる。$X$ の弧状連結成分全体はしばしば $\pi_0(X)$ と書かれる。詳しくはホモトピー群を参照されたい。

直感との乖離

長い直線に最大元 $M$ と最小元 $m$ を加えてコンパクト化した位相空間を $X$ とすると直感的にはつながっているように思えるが $m$ と $M$ を結ぶ道が存在しないため弧状連結ではない(連結ではある。)。これは定義域の $[0,1]$ にの開集合に比べて長い直線のコンパクト化したものは余りにも開集合が多すぎるために端と端を連続写像で繋げないからであり弧状連結性は単位閉区間 $[0,1]$ の位相に深く依存しているということを指している。

しかしながら連結であるよりも直感的ではあり、例えば原点を抜いたくし空間は連結だが弧状連結でない例として有名である。弧状連結でないことは $(0,1)$ と $(1,0)$ を繋ぐには原点を通らなければならないからということは直感的にも納得できるであろう。連結だが弧状連結でない例として位相幾何学者の正弦曲線?も有名であるが弧状連結でないことを示すのは本質的に $\sin(1/x)$ の原点での非連続性から従う。

位相的性質

遺伝性

  • 弧状連結性は部分空間に遺伝しない。
  • 部分空間の弧状連結性は全空間の弧状連結性を誘導しない。
  • 弧状連結な部分空間同士の和集合は一般に弧状連結でないが、共通部分が空でなければ弧状連結である。
  • 弧状連結な部分空間同士の共通部分は弧状連結とは限らない。
  • 弧状連結空間の連続写像による像は再び弧状連結である。
  • 弧状連結空間の連続写像による逆像は弧状連結とは限らない。
  • 2つの弧状連結空間の直和は必ず弧状連結でない。
  • 2つの弧状連結空間の直積は再び弧状連結である。

他の位相的性質との関連

局所弧状連結空間

任意の点 $x \in X$ に対して弧状連結な基本近傍系?を持つとき、すなわち $x$ の任意の開近傍? $x\in U$ に対してそれより小さい弧状連結な開近傍 $x\in V \subset U$ が取れるとき $X$ は局所弧状連結(locally path connected)であると言う。一般に弧状連結性と局所弧状連結性に包含はない。代表的な例を以下に挙げる

  • 単位閉区間 : $[0,1]$ (弧状連結かつ局所弧状連結)
  • $\{0\}\cup[1,2]$ : (弧状連結ではないが局所弧状連結)
  • くし空間 : (弧状連結であるが局所弧状連結ではない)
  • $\{\frac{1}{n}\in \mathbb{R}\mid n\in \mathbb{N}\}\cup\{0\}$ : (弧状連結でも局所弧状連結でもない)

位相的性質(局所版)

遺伝性(局所版)

  • 局所弧状連結性は部分空間に遺伝しない。
  • 部分空間の局所弧状連結性は全空間の局所弧状連結性を誘導しない。
  • 局所弧状連結な部分空間同士の和集合は局所弧状連結とは限らない。
  • 局所弧状連結な部分空間同士の共通部分は局所弧状連結であるとは限らない。
  • 局所弧状連結空間の連続写像による像は局所弧状連結であるとは限らない。
  • 局所弧状連結空間の連続写像による逆像は局所弧状連結とは限らない。
  • 2つの局所弧状連結空間の直和は再び局所弧状連結である。
  • 2つの局所弧状連結空間の直積は再び局所弧状連結である。

他の位相的性質との関連(局所版)

関連項目



*1 空集合を連結とする流儀もあるため注意が必要であり、その場合はさらに弧状連結であるともすることが多いので注意されたい。

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Last-modified: 2020-11-01 (日) 21:22:48 (32d)