$\gdef\kak#1{\left(#1\right)}$ $\gdef\ZZ{\mathbb{Z}}$ $\gdef\QQ{\mathbb{Q}}$ $\gdef\pp{\boldsymbol{p}}$ $\gdef\bk{\boldsymbol{k}}$ $\gdef\bl{\boldsymbol{l}}$ $\gdef\be{\boldsymbol{e}}$ $\gdef\bf{\boldsymbol{f}}$ $\gdef\bh{\boldsymbol{h}}$ $\gdef\emp{\varnothing}$ $\gdef\sh{\mathbin{\text{ш}}}$ $\gdef\ue{\uparrow}$ $\gdef\hidari{\leftarrow}$ $\gdef\shita{\downarrow}$ $\gdef\hof{\mathfrak{H}}$ $\gdef\AA{\mathcal{A}}$ $\gdef\SS{\mathcal{S}}$ $\gdef\II{\mathcal{I}}$ $\gdef\hA{\widehat{\AA}}$ $\gdef\hS{\widehat{\SS}}$

有限多重ゼータ値

有限多重ゼータ値は多重ゼータ値の有限和における類似である。インデックスおよびHoffman代数に関する基本的な記号は多重ゼータ値および多重ゼータ値入門~連結和法の観点から~と同様のものを使うこととして、ここでは省略する。

予想 0.0 (金子-Zagier予想)

$\QQ$-代数としての同型 $$\mathcal{Z}_{\AA}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$$ であって $\zeta_{\AA}(\bk)$ を $\zeta_{\SS}(\bk)$ に写すものが存在する。

1. $\AA$-有限多重ゼータ値の定義

定義 1.1 (有限多重調和和)

素数 $p$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{<p}(\bk)=\sum_{1\le n_1<\cdots<n_r\le p-1} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},$$ $$\zeta^{\star}_{<p}(\bk)=\sum_{1\le n_1\le\cdots\le n_r\le p-1} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ とおく。

定義 1.2 (法 $\pp$ 整数環)

環 $\AA$ を $$\AA=\kak{\prod_p \ZZ/p\ZZ}\Biggm/\kak{\bigoplus_p \ZZ/p\ZZ}$$ で定める。有限個の素数 $p$ を除いて $a_p\in\ZZ/p\ZZ$ が与えられているとき、例外となる素数 $p$ に対しては $a_p=0$ など適当な値を割り振っておくことで、 $(a_p)_p\in\AA$ が一意に定まる。この元を $a_{\pp}$ と略記する。

  • $\AA$ の元 $a_{\pp},~b_{\pp}$ が等しい必要十分条件は有限個の素数 $p$ を除いて $a_p=b_p$ が成り立つことである。
  • 有理数 $r/s$ に対し $s$ を割り切らない素数 $p$ には $a_p=r~\mathrm{mod}~p$ を、割り切る素数 $p$ には $a_p=0~\mathrm{mod}~p$ を割り当てることで単射準同型 $r/s\mapsto(a_p)_p\in\AA$ を構成できて、これにより $\AA$ は $\mathbb{Q}$ 代数の構造を持つ。

定義 1.3 ($\AA$-有限多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk)=\zeta_{<\pp}(\bk),\qquad\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=\zeta^{\star}_{<\pp}(\bk)$$ とおき、それぞれ $\AA$-有限多重ゼータ値 ($\AA$-finite multiple zeta value, $\AA$-FMZV)、$\AA$-有限多重ゼータスター値 ($\AA$-finite multiple zeta star value, $\AA$-FMZSV) と呼ぶ。

定義 1.4 ($\AA$-有限多重ゼータ値の空間)

正整数 $k$ に対し $$\mathcal{Z}_{\AA,k}=\mathrm{span}_{\mathbb{Q}}\{\zeta_{\AA}(\bk)\mid\mathrm{wt}(\bk)=k\}$$ とおく。また $\mathcal{Z}_{\AA,0}=\mathbb{Q}$ とし、形式的な直和 $$\mathcal{Z}_{\AA}=\bigsqcup_{k\ge 0}\mathcal{Z}_{\AA,k}$$ を定めておく。

予想 1.5 (次元予想)

正整数列 $\{d_k\}_{k\ge -3}$ を $$\begin{aligned}d_{-3}=1,\quad d_{-2}=0,\quad d_{-1}=0,\\ d_{k+3}=d_{k+1}+d_k\qquad(k\ge -3)\end{aligned}$$ で定めたとき $\mathrm{dim}_{\mathbb{Q}}\mathcal{Z}_{\AA,k}=d_{k-3}$ が成り立つ。

予想 1.6

空でないあるインデックス $\bk$ について $\zeta_{\AA}(\bk)\neq 0$ である。

2. $\AA$-有限多重ゼータ値の関係式

定理 2.1 (対称和公式)

$r$ を正整数、$S_r$ を $r$ 次の対称群としたとき $$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\AA}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\AA}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$$ が成り立つ。

系 2.2

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA}(\underbrace{k,\ldots,k}_r)=\zeta^{\star}_{\AA}(\underbrace{k,\ldots,k}_r)=0$$ である。

  • $3$ 以上の素数 $p$ に対して成り立つ有名な定理 $$\frac{1}{1}+\cdots+\frac{1}{p-1}\equiv 0~\mathrm{mod}~p$$ は本質的にこの系の $(k,r)=(1,1)$ の場合である。

定理 2.3

正整数 $n$ と正の奇数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\underbrace{k_1,k_2,\ldots,k_1,k_2}_{2n})=\zeta^{\star}_{\AA}(\underbrace{k_1,k_2,\ldots,k_1,k_2}_{2n})=0$$ である。

定理 2.4

正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\frac{B_{\pp-k_1-k_2}}{k_1+k_2}$$ である。ここで $B_n$ は $$\frac{x}{1-e^{-x}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$$ で定まる有理数列 (Bernoulli数) である。

定理 2.5 (Bowman-Bradley型定理)

任意の組 $(a,b,c,k_1,k_2)\in(1+2\ZZ_{\ge 0})^2\times 2\ZZ_{\ge 1}\times(\ZZ_{\ge 0}^2\setminus\{(0,0)\})$ に対し $$\sum_{\substack{\boldsymbol{n}=(n_i)_i\in J_{2m+1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{n})=n}} \zeta_{\AA}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2m}},b,\{c\}^{n_{2m+1}})=\sum_{\substack{\boldsymbol{n}=(n_i)_i\in J_{2m+1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{n})=n}} \zeta^{\star}_{\AA}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2m}},b,\{c\}^{n_{2m+1}})=0$$ である。

定理 2.6

非負整数 $k$ と、和が $k$ である非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=(-1)^k\zeta^{\star}_{\AA}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=2(-1)^k\kak{1-\frac{1}{4^k}}\kak{\binom{2k+1}{2k_1+1}-\binom{2k+1}{2k_2+1}}\frac{B_{\pp-2k-1}}{2k+1}$$ である。

定理 2.7

非負整数 $k$ と、和が $k$ である非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=(-1)^k\zeta^{\star}_{\AA}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=2\kak{\binom{2k+3}{2k_1+2}-\binom{2k+3}{2k_2+2}}\frac{B_{\pp-2k-3}}{2k+3}$$ である。

定理 2.8 (Le-村上 / 青木-大野型関係式)

正整数 $k,s$ に対し $$I_0(k,s)=\{\bk\in\II\mid\mathrm{wt}(\bk)=k,~\mathrm{ht}(\bk)=s\}$$ とおくと $k\ge 2s$ に対し $$\sum_{\bk\in I_0(k,s)}(-1)^{\mathrm{dep}(\bk)}\zeta_{\AA}(\bk)=\sum_{\bk\in I_0(k,s)}\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=\kak{2-\frac{1}{2^{k-2}}}\binom{k-1}{2s-1}\frac{B_{\pp-k}}{k}$$ である。

定理 2.9 (Li型定理)

正整数 $k,r,s$ に対し $$X_{\AA,0}(k,r,s)=\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{\AA}(\bk)$$ とおき、右辺で $\zeta_{\AA}$ を $\zeta^{\star}_{\AA}$ に換えたものを $X^{\star}_{\AA,0}(k,r,s)$ と書く。このとき正整数 $s$ と $s$ 以上の正整数 $m,n$ に対し $$X_{\AA}(m+n+1,n+1,s)=X_{\AA}(m+n+1,m+1,s),$$ $$(-1)^mX^{\star}_{\AA}(m+n+1,n+1,s)=(-1)^nX^{\star}_{\AA}(m+n+1,m+1,s)$$ である。

定理 2.10 (調和関係式)

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\AA}(\bk)\zeta_{\AA}(\bl)$$ が成り立つ。

証明 インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s),~\bh=(h_1,\ldots,h_p)$ ($r,s\ge 1,~p\ge 0$) と正整数 $N$ に対し $$Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh)=\sum_{\substack{0<r_1<\cdots<r_p\\r_p=m_1<\cdots<m_r\le N\\r_p=n_1<\cdots<n_s\le N}} \left(\prod_{i=1}^r \frac{1}{m_i^{k_i}}\right)\cdot m_1n_1\left(\prod_{f=1}^p \frac{1}{r_f^{h_f}}\right)\cdot\left(\prod_{j=1}^s \frac{1}{n_j^{l_j}}\right)$$ とおくと、簡単な計算により $$\begin{aligned}Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\ast}_N(\bl;\bk;\bh),\\Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;{}_{\hidari}\bl;\bh)=Z^{\ast}_N(\bk;{}_{\hidari}\bl;\bh_{\to})&~+Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;\bl;\bh_{\to})+Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh_{\to\ue}),\\Z^{\ast}_N({}_{\ue}\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh_{\ue})\end{aligned}$$ が成り立つ。$Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;{}_{\hidari}\bl;\emp)$ から始めてこれらを繰り返し使うことで証明が完成する。[証明終]

定理 2.11 (シャッフル関係式)

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk~\sh~\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\AA}(\bk,\overleftarrow{\bl})$$ が成り立つ。

証明1 インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s),~\bh=(h_1,\ldots,h_p)$ ($r,s\ge 1,~p\ge 0$) と正整数 $N$ に対し $$Z^{\sh}_N(\bk;\bl;\bh)=\sum_{\substack{0<m_1<\cdots<m_r\\0<n_1<\cdots<n_s\\m_r+n_s=r_1<\cdots<r_p\le N}} \left(\prod_{i=1}^r \frac{1}{m_i^{k_i}}\right)\cdot m_rn_sr_1\left(\prod_{f=1}^p \frac{1}{r_f^{h_f}}\right)\cdot\left(\prod_{j=1}^s \frac{1}{n_j^{l_j}}\right)$$ とおくと、部分分数分解 $$\frac{1}{mn}=\kak{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\frac{1}{m+n}$$ によって $$\begin{aligned}Z^{\sh}_N(\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\sh}_N(\bl;\bk;\bh),\\Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl_{\ue};\bh)=Z^{\sh}_N(\bk;&~\bl_{\ue};\bh_{\ue})+Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl;\bh_{\ue}),\\Z^{\sh}_N(\bk_{\to};\bl;{}_{\ue}\bh)&~=Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl;{}_{\hidari}\bh)\end{aligned}$$ が成り立つ。$Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl_{\ue};1)$ から始めてこれらを繰り返し使うことで証明が完成する。[証明終]

証明2 一変数の多重ポリログ関数 $$\mathrm{Li}_{k_1,\ldots,k_r}(z)=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{z^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ は積分表示 $$\mathrm{Li}_{k_1,\ldots,k_r}(z)=I_z(1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_1-1},\ldots,1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_r-1})$$ を持ち (ただし $$I_z(e_1,\ldots,e_k)=\int_{0<t_1<\cdots<t_k<z} \prod_{i=1}^k \omega_{e_i}(t_i)\qquad(\omega_i(t)=(-1)^idt/(t-i))$$ と書いた)、したがってシャッフル関係式 $\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z)=\mathrm{Li}_{\bk}(z)\mathrm{Li}_{\bl}(z)$ を満たす。一方で、冪級数 $f(x)$ の $x^i$ の係数を $C(f(x);x^i)$ と書くことにすれば、 $\zeta_{\AA}(\bk~\sh~\bl)$ の $p$ 成分は $\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z);z^i)$ に他ならない。インデックスを $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s)$ と成分表示しておくと $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z);z^i)&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}} C(\mathrm{Li}_{\bk}(z);z^i)C(\mathrm{Li}_{\bk}(z);z^j)\\&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\kak{\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}}\kak{\sum_{0<n_1<\cdots<n_{s-1}<j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{s-1}^{l_{s-1}}j^{l_s}}}\end{aligned}$$ と変形できる。ここで $j\mapsto p-j$ と、各 $1\le u\le s-1$ に対し $n_u\mapsto p-n_{s-u}$ という変換を施すと、右辺は $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\kak{\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}}\kak{\sum_{0<n_1<\cdots<n_{s-1}<j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{s-1}^{l_{s-1}}j^{l_s}}}\\&\quad=\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\kak{\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}}\kak{\sum_{0<p-n_{s-1}<\cdots<p-n_1<p-j} \frac{1}{(p-n_{s-1})^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_{s-1}}(p-j)^{l_s}}}\end{aligned}$$ となり、簡単な事実 $1/(p-b)^a\equiv (-1)^a/b^a~\mathrm{mod}~p$ より $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\kak{\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}}\kak{\sum_{0<p-n_{s-1}<\cdots<p-n_1<p-j} \frac{1}{(p-n_{s-1})^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_{s-1}}(p-j)^{l_s}}}\\&\quad\equiv(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i<j<n_1<\cdots<n_{s-1}\le p-1} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}j^{l_s}n_1^{l_{s-1}}\cdots n_{s-1}^{l_1}}\end{aligned}$$ と計算できるが、この右辺は $(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\AA}(\bk~\sh~\bl)$ の $p$ 成分に他ならない。[証明終]

系 2.12 (反転公式)

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bk)}\zeta_{\AA}(\overleftarrow{\bk})$$ である。

定理 2.13 (Hoffman双対性)

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=-\zeta^{\star}_{\AA}(\bk^{\vee})$$ が成り立つ。

  • Hoffmanは次の定理がこの双対性と同値であることを示している: インデックス $\bk$ を縮約インデックスに持つようなインデックスすべての形式的線型和を $u(\bk)$ と書く、つまり $$u(\bk)=\sum_{\bk\preceq\bl} \bl$$ と書くとき $$\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^{\mathrm{dep}(\bk)}\zeta_{\AA}(u(\bk) )$$ である。ここで $\zeta_{\AA}$ はインデックスの線型和に対し線型に延長して考えている。

定理 2.14 (大野型関係式)

インデックス $\bk$ に対し $\mathrm{dep}(\bk)=r,~\mathrm{dep}(\bk^{\vee})=s~(=1+\mathrm{wt}(\bk)-r)$ とおくと、非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in J_r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} \zeta_{\AA}(\bk\oplus\be)=\sum_{\substack{\bf\in J_s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta_{\AA}((\bk^{\vee}\oplus\bf)^{\vee}),$$ $$\sum_{\substack{\be\in J_r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} b_2(\bk;\be)\zeta^{\star}_{\AA}(\bk\oplus\be)=-\sum_{\substack{\bf\in J_s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta^{\star}_{\AA}(\bk^{\vee}\oplus\bf)$$が成り立つ。ここで $$b_2(k_1,\ldots,k_r;e_1,\ldots,e_r)=\prod_{i=1}^r\binom{k_i+e_i+\delta_{i,1}+\delta_{i,2}-2}{e_i}$$ とおいた ($\delta_{i,j}$ はKroneckerのデルタである。)。

定理 2.15 (導分関係式)

正整数 $h$ に対し、$\mathfrak{H}$ 上の導分 $\partial_h$ を $$\partial_h(x)=y(y+x)^{h-1}x,\qquad\partial_h(y)=-y(y+x)^{h-1}x$$ で定めると、任意の $w\in\mathfrak{H}^0$ に対し $$(Z_{\AA}\circ\partial_h)(w)=-Z_{\AA}(wy(y+x)^{h-1})$$ となる。ここで $Z_{\AA}:\hof^1\to\AA$ は対応 $$Z_{\AA}(1)=1,\quad~Z_{\AA}(yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1})=\zeta_{\AA}(k_1,\ldots,k_r)$$ を $\mathbb{Q}$ 線型に拡張したものである。

定理 2.16 (和公式)

正整数 $k,r,i$ に対し $$I_{k,r,i}=\{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in\II_r\mid\mathrm{wt}(\bk)=k,~k_i\ge 2\}$$ とおくと $1\le i\le r<k$ に対し $$\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^r\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=(-1)^{i-1}\kak{\binom{k-1}{i-1}+(-1)^r\binom{k-1}{r-i}}\frac{B_{\pp-k}}{k}$$ が成り立つ。

定理 2.17 (重み付き和公式)

正整数 $k,r$ と不定元 $x_1,x_2,y_1,y_2$ に対し $$\sum_{\substack{0\le i\le k\\0\le j\le r}}((-1)^{k+r-i-j}x_1^ix_2^{k-i}y_1^jy_2^{r-j}+(x_1^iy_1^j+x_2^iy_2^j)(x_1+x_2)^{k-i}(y_1+y_2)^{r-j})\sum_{\substack{\bk\in I_{i+1}\\\mathrm{wt}(\bk)=i+j+1\\\bl\in I_{k-i+1}\\\mathrm{wt}(\bl)=k+r-i-j+1}}\zeta_{\AA}(\bk,\bl)=0$$ である。

定理 2.18 (制限つき和公式)

$\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I_r$ ($r\ge 1$) と非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\boldsymbol{m}=(m_i)_i\in I_r\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=r+h}}\sum_{\substack{\boldsymbol{a}_i\in I_{m_i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{a})=k_i+m_i-1}}\zeta_{\AA}(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_r)=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\boldsymbol{e}=(e_i)_i\in J_{r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-i}}\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in J_{2r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=i}}\zeta_{\AA}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\boldsymbol{f})$$ である。

定理 2.19 (金子-坂田型和公式)

$\bk\in I_r$ ($r\ge 1$) と正整数 $h\ge r$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in J_{r+1}\\\mathrm{wt}(\be)=h-r}}\zeta_{\AA}(\{1\}^{e_1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{e_r},k_r+1,\{1\}^{e_{r+1}})=\sum_{\substack{\mathrm{dep}(\bl)\le h\\\bl\succeq\bk\\}}\sum_{\substack{\be\in I_{\mathrm{dep}(\bl)}\\\mathrm{wt}(\bf)=h}}(-1)^{\mathrm{dep}(\bl)-r}\zeta_{\AA}(\bl+\be)$$ である。

定理 2.20 (二重大野関係式)

非負整数 $d,n_0,\ldots,n_{2d}$ に対し $$\bk=(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\{2\}^{n_2},\ldots,\{2\}^{n_{2d-2}},1,\{2\}^{n_{2d-1}},3,\{2\}^{n_{2d}})$$ とおくと、非負整数 $h_1,h_2$ に対し $$\sum_{\substack{\be_1\in J_r\\\mathrm{wt}(\be_1)=h_1\\\be_2\in J_r\\\mathrm{wt}(\be_2)=h_2}} \zeta_{\AA}(\bk_{\downarrow}\oplus\be_1\oplus\be_2)=\sum_{\substack{\bf_1\in J_r\\\mathrm{wt}(\bf_1)=h_1\\\bf_2\in J_r\\\mathrm{wt}(\bf_2)=h_2}} \zeta_{\AA}(((\bk_{\downarrow})^{\vee}\oplus\bf_1\oplus\bf_2)^{\vee})$$ が成り立つ。

3. $\SS$-対称多重ゼータ値の定義

定義 3.1 (調和/シャッフル対称多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{k_{i+1}+\cdots+k_r}\zeta^{\bullet}(k_1,\ldots,k_i)\zeta^{\bullet}(k_r,\ldots,k_{i+1})$$ とおく。ここで $\zeta^{\bullet}(\bk)$ は正規化多項式 $Z^{\bullet}_{\bk}(T)$ の定数項である。

定理 3.2

任意のインデックス $\bk$ に対し $\zeta^{\ast}_{\SS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\SS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ が成り立つ。ここで $\mathcal{Z}$ は $\mathbb{Q}$ 上で $1$ とすべての多重ゼータ値 $\zeta(\bk)$ が張る空間である。

定義 3.3 ($\SS$-対称多重ゼータ値)

定理 3.2 によって空間 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ において一致するこれらの値を $\zeta_{\SS}(\bk)$ と書き、$\SS$-対称多重ゼータ値 ($\SS$-symmetric multiple zeta value) という。また $$\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=\sum_{\bl\preceq\bk}\zeta_{\SS}(\bl)$$ とおき $\SS$-対称多重ゼータスター値 ($\SS$-symmetric multiple zeta star value) という。

定理 3.4 (truncated対称多重ゼータ値)

正整数 $M$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta^{\ast}_{\SS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i<M\\ -M<n_{i+1}<\cdots<n_r<0}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},$$ $$\zeta^{\sh}_{\SS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i\\ n_{i+1}<\cdots<n_r<0\\ n_i-n_{i+1}<M}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ とおくと $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\lim_{M\to\infty} \zeta^{\bullet}_{\SS,M}(\bk)$$ である。

4. $\SS$-対称多重ゼータ値の関係式

定理 4.1 (対称和公式)

$r$ を正整数、$S_r$ を $r$ 次の対称群としたとき $$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\SS}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\SS}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$$ が成り立つ。

系 4.2

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\SS}(\underbrace{k,\ldots,k}_r)=0$$ である。

定理 4.3

正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\SS}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(k_1+k_2)$$ である。

  • 正の偶数 $2n$ に対し有名な結果 $\zeta(2n)\in\mathbb{Q}\pi^{2n}\subset\zeta(2)\mathcal{Z}$ が成り立つので、$k$ が偶数のときは $\zeta_{\SS}(k_1,k_2)=0$ である。

定理 4.4 (調和関係式)

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\SS}(\bk)\zeta_{\SS}(\bl)$$ が成り立つ。

定理 4.5 (シャッフル関係式)

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk~\sh~\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\SS}(\bk,\overleftarrow{\bl})$$ が成り立つ。

系 4.6 (反転公式)

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bk)}\zeta_{\SS}(\overleftarrow{\bk})$$ である。

定理 4.7 (Hoffman双対性)

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=-\zeta^{\star}_{\SS}(\bk^{\vee})$$ が成り立つ。

定理 4.8 (大野型関係式)

インデックス $\bk$ と非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in J_r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} \zeta_{\SS}(\bk\oplus\be)=\sum_{\substack{\bf\in J_s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta_{\SS}((\bk^{\vee}\oplus\bf)^{\vee}),$$ $$\sum_{\substack{\be\in J_r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} b_2(\bk;\be)\zeta^{\star}_{\SS}(\bk\oplus\be)=-\sum_{\substack{\bf\in J_s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta^{\star}_{\SS}(\bk^{\vee}\oplus\bf)$$が成り立つ。

定理 4.9 (導分関係式)

正整数 $h$ と任意の $w\in\mathfrak{H}^0$ に対し $$(Z_{\SS}\circ\partial_h)(w)=-Z_{\SS}(wy(y+x)^{h-1})$$ となる。ここで $Z_{\SS}:\hof^1\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ は対応 $$Z_{\SS}(1)=1,\quad~Z_{\SS}(yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1})=\zeta_{\SS}(k_1,\ldots,k_r)$$ を $\mathbb{Q}$ 線型に拡張したものである。

定理 4.10 (和公式)

正整数 $1\le i\le r<k$ に対し $$\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\SS}(\bk)=(-1)^r\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=(-1)^{i-1}\kak{\binom{k-1}{i-1}+(-1)^r\binom{k-1}{r-i}}\zeta(k)$$ が成り立つ。

定理 4.11 (制限つき和公式)

$\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I_r$ ($r\ge 1$) と非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\boldsymbol{m}=(m_i)_i\in I_r\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=r+h}}\sum_{\substack{\boldsymbol{a}_i\in I_{m_i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{a})=k_i+m_i-1}}\zeta_{\SS}(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_r)=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\boldsymbol{e}=(e_i)_i\in J_{r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-i}}\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in J_{2r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=i}}\zeta_{\SS}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\boldsymbol{f})$$ である。

定理 4.12 (金子-坂田型和公式)

$\bk\in I_r$ ($r\ge 1$) と正整数 $h\ge r$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in J_{r+1}\\\mathrm{wt}(\be)=h-r}}\zeta_{\SS}(\{1\}^{e_1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{e_r},k_r+1,\{1\}^{e_{r+1}})=\sum_{\substack{\mathrm{dep}(\bl)\le h\\\bl\succeq\bk\\}}\sum_{\substack{\be\in I_{\mathrm{dep}(\bl)}\\\mathrm{wt}(\bf)=h}}(-1)^{\mathrm{dep}(\bl)-r}\zeta_{\SS}(\bl+\be)$$ である。

定理 4.13 (二重大野関係式)

非負整数 $d,n_0,\ldots,n_{2d}$ に対し $$\bk=(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\{2\}^{n_2},\ldots,\{2\}^{n_{2d-2}},1,\{2\}^{n_{2d-1}},3,\{2\}^{n_{2d}})$$ とおくと、非負整数 $h_1,h_2$ に対し $$\sum_{\substack{\be_1\in J_r\\\mathrm{wt}(\be_1)=h_1\\\be_2\in J_r\\\mathrm{wt}(\be_2)=h_2}} \zeta_{\SS}(\bk_{\downarrow}\oplus\be_1\oplus\be_2)=\sum_{\substack{\bf_1\in J_r\\\mathrm{wt}(\bf_1)=h_1\\\bf_2\in J_r\\\mathrm{wt}(\bf_2)=h_2}} \zeta_{\SS}(((\bk_{\downarrow})^{\vee}\oplus\bf_1\oplus\bf_2)^{\vee})$$ が成り立つ。

5. $\hA$-有限多重ゼータ値の定義

定義 5.1 ($\pp$ 進整数環)

正整数 $n$ に対し環 $\AA_n$ を $$\AA_n=\kak{\prod_p \ZZ/p^n\ZZ}\Biggm/\kak{\bigoplus_p \ZZ/p^n\ZZ}$$ で定め、$m<n$ に対し成分ごとに $\mathrm{mod}~p^m$ を取る写像 $\AA_n\to\AA_m$ による逆系の射影極限を $$\hA$$ と書く。

  • 自然な全射 $\pi:\prod_p \ZZ_p\to\hA$ によって任意の $\hA$ の元は $p$ 進整数の族 $(a_p)_p$ を用いた表示 $\pi((a_p)_p)$ を持つ。これを $a_{\pp}$ と書く。
  • 自然な全射 $\pi_n:\hA\to\AA_n$ は同型 $\hA/\pp^n\hA\simeq\AA_n$ を誘導する。これを用いて $\pi_n(a_{\pp})$ も誤解の恐れがなければ $a_{\pp}$ と書くこととする ($\AA=\AA_1$ において用いていた記法 $a_{\pp}$ の拡張である)。

定義 5.2 ($\pp$ 進有限多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\hA}(\bk)=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<\pp} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\in\hA,$$ $$\zeta^{\star}_{\hA}(\bk)=\sum_{0<n_1\le\cdots\le n_r<\pp} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\in\hA$$ とおき、それぞれ $\pp$ 進有限多重ゼータ値 ($\pp$-adic finite multiple zeta value)、$\pp$ 進有限多重ゼータスター値 ($\pp$-adic multiple zeta star value) と呼ぶ。

定義 5.3 ($\AA_n$-有限多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\AA_n}(\bk)=\pi_n(\zeta_{\hA}(\bk)),\quad\zeta^{\star}_{\AA_n}(\bk)=\pi_n(\zeta^{\star}_{\hA}(\bk))$$ とおき、それぞれ $\AA_n$-有限多重ゼータ値 ($\AA_n$-finite multiple zeta value, $\AA_n$-FMZV)、$\AA_n$-有限多重ゼータスター値 ($\AA_n$-finite multiple zeta star value, $\AA_n$-FMZSV) と呼ぶ。

6. 特殊値と $\pp$ 進関係式

定理 6.1

正整数 $k$ に対し $$\zeta_{\AA_n}(k)=(-1)^k\sum_{l=1}^{n-1}\binom{k+l-1}{l}\kak{\sum_{j=1}^{n-l}(-1)^j\binom{n-l}{j}\frac{B_{j(\pp-1)-k-l+1}}{j(\pp-1)-k-l+1}}\pp^l$$ である。

定理 6.2

正の偶数 $k$ と和が $k$ になる正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA_2}(k_1,k_2)=\zeta^{\star}_{\AA_2}(k_1,k_2)-\frac{k}{k+1}B_{\pp-k-1}=\frac{1}{2}\kak{(-1)^{k_1}k_2\binom{k+1}{k_1}-(-1)^{k_2}k_1\binom{k+1}{k_2}-k}\frac{B_{\pp-k-1}}{k+1}\pp$$ である。

定理 6.3

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA_2}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\AA_2}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}k\frac{B_{\pp-rk-1}}{rk+1}\pp$$ である。

定理 6.4

積が奇数となる正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^r\frac{k(rk+1)}{2(rk+2)}B_{\pp-rk-2}\pp^2$$

定理 6.5 ($\pp$ 進調和関係式)

証明 定理 2.10 より有限和のレベルで調和関係式 $\zeta_{<p}(\bk)\zeta_{<p}(\bl)=\zeta_{<p}(\bk\ast\bl)$ が成り立つ。[証明終]

定理 6.6 ($\pp$ 進シャッフル関係式)

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し $$\zeta_{\hA}(\bk\sh\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{h=0}^{\infty}\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_s)\\e_i\ge 0\\e_1+\cdots+e_s=h}}b{\left({\bl\atop\be}\right)}\zeta_{\hA}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl+\be}\right)}\pp^h$$ が成り立つ。ここで $s$ は $\bl$ の深さであり、インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数の組 $\be=(e_1,\ldots,e_r)$ に対し $$b{\left({\bk \atop \be}\right)}=\prod_{i=1}^r \binom{k_i+e_i-1}{e_i}$$ とおいた。

証明 $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s)$ と書く。冪級数 $f(x)$ の $x^i$ の係数を $C(f(x);x^i)$ と書くことにすれば、定義より $$\zeta_{<p}(\bk\sh\bl)=\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk\sh\bl}(z);z^i)$$ が成り立つ. この左辺は $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk\sh\bl}(z);z^i)&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}} C(\mathrm{Li}_{\bk}(z);z^i)C(\mathrm{Li}_{\bl}(z);z^j)\\&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<n_1<\cdots< n_s=j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}\right)\end{aligned}$$ と変形できる。ここで $j\mapsto p-j$ と、各 $1\le v\le s-1$ に対し $n_v\mapsto p-n_{s+1-v}$ という変換を施すと、右辺は $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<n_1<\cdots< n_s=j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}\right)\\&\quad=\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<p-n_s<\cdots< p-n_1=p-j} \frac{1}{(p-n_s)^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_s}}\right)\end{aligned}$$ となり、$0<n<p$ で $p$ 進的に収束する級数 $$\frac{1}{(p-n)^l}=(-1)^l\sum_{e\ge 0} \binom{l+e-1}{e}\frac{p^e}{n^{l+e}}$$ より $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<p-n_s<\cdots< p-n_1=p-j} \frac{1}{(p-n_s)^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_s}}\right)\\&\quad=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_s)\\e_i\ge 0}}b{\left({\bl\atop\be}\right)}\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i<j=n_1<\cdots< n_s\le p-1} \frac{p^{e_1+\cdots+e_s}}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}n_1^{l_s+e_s}\cdots n_s^{l_1+e_1}}\\&\quad=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{h=0}^{\infty}\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_s)\\e_i\ge 0\\e_1+\cdots+e_s=h}}b{\left({\bl\atop\be}\right)}\zeta_{<p}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl+\be}\right)}p^h\end{aligned}$$ と計算できる。[証明終]

参考文献/リンク

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Last-modified: 2020-10-26 (月) 01:38:02 (1d)