## 位数1～100の有限群の分類 †

OEIS (The On-line Encyclopedio of Integer Sequences) には、非負整数 $n$ について位数 $n$ の群の同型類の個数を並べた数列が提示されている。https://oeis.org/A000001 を参照されたい。

## 凡例 †

• $C_n$: 位数 $n$ の巡回群
• $D_n$: 位数 $n$ の二面体群
• $Q_n$: 位数 $n$ の一般四元数群?
• $S_n$: $n$ 次の対称群
• $A_n$: $n$ 次の交代群?

## 一覧 †

 位数 位数の素因数分解 群の分類 証明 補足 1 $1$ $C_1$ 自明 2 $2$ $C_2$ $\small p$ 3 $3$ $C_3$ $\small p$ $A_3$ と同型。 4 $2^2$ $C_4$ $\small p^2$ $C_2\times C_2$ 位数最小の非巡回群。（個別記事） 5 $5$ $C_5$ $\small p$ 6 $2\times 3$ $C_6$ $\small 2p$ $S_3$ 位数最小の非可換群。 $D_6$ と同型。（個別記事） 7 $7$ $C_7$ $\small p$ 8 $2^3$ $C_8$ 龍孫江さんの解説動画 $C_2\times C_4$ $C_2\times C_2 \times C_2$ $D_8$ $Q_8$ 9 $3^2$ $C_9$ $\small p^2$ $C_3\times C_3$ 10 $2\times 5$ $C_{10}$ $\small 2p$ $D_{10}$ 11 $11$ $C_{11}$ $\small p$ 12 $2^2\times 3$ $Q_{12}$ $C_3 \times C_4$ $A_4$ $D_{12}$ $C_2 \times C_2 \times C_3$ 13 $13$ $C_{13}$ $\small p$ 14 $2\times 7$ $C_{14}$ $\small 2p$ $D_{14}$ 15 $3\times 5$ $C_{15}$ $\small pq$ 16 $2^4$ $C_{16}$ $C_4 \times C_4$ $(C_2 \times C_2) \rtimes C_4$ $C_4 \rtimes C_4$ $C_8 \times C_2$ $C_8 \rtimes C_2$ $D_{16}$ $SD_{16}$ $Q_{16}$ $C_4 \times C_2 \times C_2$ $D_8 \times C_2$ $Q_8 \times C_2$ $(C_4 \times C_2) \rtimes C_2$ $C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2$ 17 $17$ $C_{17}$ $\small p$ 18 $2\times 3^2$ $D_{18}$ $C_9 \times C_2$ $D_6 \times C_3$ $(C_3 \times C_3) \rtimes C_2$ $C_3 \times C_3 \times C_2$ 19 $19$ $C_{19}$ $\small p$ 20 $2^2\times 5$ 21 $3\times 7$ $C_{21}$ $\small pq$, $\small 21$ $C_{7}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ 22 $2\times 11$ $C_{22}$ $\small 2p$ $D_{22}$ 23 $23$ $C_{23}$ $\small p$ 24 $2^3\times 3$ 25 $5^2$ $C_{25}$ $\small p^2$ $C_5\times C_5$ 26 $2\times 13$ $C_{26}$ $\small 2p$ $D_{26}$ 27 $3^3$ 28 $2^2\times 7$ 29 $29$ $C_{29}$ $\small p$ 30 $2\times 3\times 5$ 31 $31$ $C_{31}$ $\small p$ 32 $2^5$ 33 $3\times 11$ $C_{33}$ $\small pq$ 34 $2\times 17$ 35 $5\times 7$ $C_{35}$ $\small pq$ 36 $2^2\times 3^2$ 37 $37$ $C_{37}$ $\small p$ 38 $2\times 19$ 39 $3\times 13$ $C_{39}$ $\small pq$,$\small 39$ $C_{13}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ 40 $2^3\times 5$ 41 $41$ $C_{41}$ $\small p$ 42 $2\times 3\times 7$ 43 $43$ $C_{43}$ $\small p$ 44 $2^2\times 11$ 45 $3^2\times 5$ 46 $2\times 23$ 47 $47$ $C_{47}$ $\small p$ 48 $2^4\times 3$ 49 $7^2$ $C_{49}$ $\small p^2$ $C_7\times C_7$ 50 $2\times 5^2$ 51 $3\times 17$ $C_{51}$ $\small pq$ 52 $2^2\times 13$ 53 $53$ $C_{53}$ $\small p$ 54 $2\times 3^3$ 55 $5\times 11$ $C_{55}$ $\small pq$, $\small 55$ $C_{11}{\rtimes}_{\phi}C_{5}$ 56 $2^3 \times 7$ 57 $3\times 19$ $C_{57}$ $\small pq$,$\small 57$ $C_{19}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ 58 $2\times 29$ 59 $59$ $C_{59}$ $\small p$ 60 $2^2\times 3\times 5$ 61 $61$ $C_{61}$ $\small p$ 62 $2\times 31$ 63 $3^2\times 7$ 64 $2^6$ 65 $5\times 13$ 66 $2\times 3\times 11$ 67 $67$ $C_{67}$ $\small p$ 68 $2^2\times 17$ 69 $3\times 23$ $C_{69}$ $\small pq$ 70 $2\times 5\times 7$ 71 $71$ $C_{71}$ $\small p$ 72 $2^3\times 3^2$ 73 $73$ $C_{73}$ $\small p$ 74 $2\times 37$ 75 $3\times 5^2$ 76 $2^2\times 19$ 77 $7\times 11$ $C_{77}$ $\small pq$ 78 $2\times 3\times 13$ 79 $79$ $C_{79}$ $\small p$ 80 $2^4 \times 5$ 81 $3^4$ 82 $2\times 41$ 83 $83$ $C_{83}$ $\small p$ 84 $2^2\times 3\times7$ 85 $5\times 17$ $C_{85}$ $\small pq$ 86 $2\times 43$ 87 $3\times 29$ $C_{87}$ $\small pq$ 88 $2^3\times 11$ 89 $89$ $C_{89}$ $\small p$ 90 $2\times 3^2\times 5$ 91 $7 \times 13$ $C_{91}$ $\small pq$ 92 $2^2\times 23$ 93 $3\times 31$ $C_{93}$ $\small pq$,$\small 93$ $C_{31}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ 94 $2\times 47$ 95 $5\times 19$ $C_{95}$ $\small pq$ 96 $2^5\times 3$ 97 $97$ $C_{97}$ $\small p$ 98 $2\times 7^2$ 99 $3^2 \times 11$ 100 $2^2\times 5^2$

Lagrangeの定理を参照。

Sylowの定理を参照。

## 特定の形の位数のケースの分類 †

### 位数が$p$の群の分類 †

$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$である。よって、$1 \neq g \in G$をひとつ固定すると、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < p$によって$h=g^i$と表すことができる。よって、$G$は巡回群$C_p$と同型である。

### 位数が$p^2$の群の分類 †

$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群 $G$ は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。

$G$ がアーベル群とすると、有限アーベル群の基本定理より $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。以下、 $G$ がアーベル群に限ることを示す。

Lagrangeの定理から $G$ の部分群および商群の位数は $1,p,p^2$ のいずれかである。$G$ が非アーベルならば中心 $Z(G)$ による商群 $G/Z(G)$ は巡回群にならないので、 $\#(G/Z(G))=p^2$ でなければいけない。したがって、 $\#Z(G)=1$ となる。一方、 $G$ は $p$-群であることから $Z(G)$ は自明群にはなりえないのでこれは不可能。ゆえに、 $G$ はアーベル群に限る。

### 位数$2p$の群の分類 †

$p$を奇素数とし、$G$を位数$2p$の有限群とする。このときSylowの定理により、位数$p$の正規部分群$H$が存在する。$H$を生成する元をひとつ固定して、これを$g$とおく。ここで、位数$2$の元$t \in G$はSylowの定理により存在するため、これを任意にひとつ固定すると、ある整数$0 \leq i < p$によって$t^{-1}gt=g^i$と表せる。

このとき$t^{-1}=t$であることに注意する。$tg=t^{-1}g=g^it$より、$g=t^{-1}g^it=(t^{-1}gt)^i=g^{i^2}$が成り立つ。$g$の位数は$p$であったため、$i=1$または$i=p-1$が成り立つ。$i=1$の場合群$G$は$C_{2p}$に同型であり、$i=p-1$の場合群$G$は$D_{2p}$と同型である。

### 位数$pq$の群の分類 †

$q<p$ を素数とする。この時位数$pq$の群は

• $p\neq 1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ と同型
• $p=1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ の他に非自明な半直積が存在し位数 $pq$ のフロベニウス群?のどちらかと同型となる。

## 関連項目 †

Last-modified: 2020-10-06 (火) 15:15:08 (214d)