自然数

自然数(natural number)とは、素朴には "$0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ \ldots$" のように数えられる「数」のことである。現代数学においてはPeanoの公理を満たす構造として自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ を定義し、その元のことを自然数という。

定義(Peanoの公理)

自然数の集合 は次のように定義される。

定義(Peanoの公理)

空でない集合 $\mathbb{N}$ 、単射写像 $s : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ と $\mathbb{N}$の元 $0$ が次の 1、2 を満たすとき $\left(\mathbb{N}, \mathop{s}, 0 \right)$ を自然数の集合自然数全体と言う:

1. $0 \notin \mathop{s} \left(\mathbb{N}\right)$;

2. 任意の$X \subset \mathbb{N}$ について、$0 \in X $ かつ $ \mathop{s} \left(X\right) \subset X $ ならば、$ X = \mathbb{N}$。

このとき、$\mathbb{N}$の元は自然数と呼ばれる。

定義(Peanoの公理)を満たす具体例

ここでは定義(Peanoの公理)を満たす例をみる。

集合系による

以下のように帰納的に定義される最小の集合系 $\mathbf{N}$ はPeanoの公理を満たす構造と考えることができる。

  1. 空集合 $\emptyset$ は $\mathbf{N}$ の元である。
  2. $n \in \mathbf{N}$ であるとき, $n \cup \left\{ n \right\} \in \mathbf{N}$。

具体的には $\mathbb{N}=\mathbf{N}$, $0=\emptyset$, $\mathop{s}(n)=n \cup \left\{ n \right\}$ とすればよい。

記号列による

 記号の集合 $\{z{,}\ s \}$ 上の記号列であって、以下のように帰納的に定義される最小の記号列の集合 $\mathbf{N}$ はPeanoの公理を満たす構造と考えることができる。

  1. 記号列 $z$ は $\mathbf{N}$ の元である。
  2.  記号列 $\mathbf{n}$ が $\mathbf{N}$ の元であるとき、文字列 $s\mathbf{n}$ は $\mathbf{N}$ の元である。

具体的には $\mathbb{N}=\mathbf{N}$, $0=z$, $\mathop{s}(\mathbf{n})=s\mathbf{n}$ とすればよい。

自然数全体の一意性

自然数の集合は同型を除いて一意に定まる。

$0$ は自然数か?

自然数の集合の定義には $0$ を自然数に含む流儀と $0$ を自然数に含まない流儀がある。 ここではそのことについて述べる。

Mathpediaでのスタンス

Mathpediaにおいては「$0$ を自然数とするかどうか」について、各分野ごとの習慣やそれぞれで行っている議論における利便性に応じて、適宜筆者の判断に委ねることとしている。そのためこの記事以外のMathpediaの記事においては、$0$ を自然数に含まない流儀が採用されることがある。個別の記事を読む際には注意されたい。

$0$ を自然数に含まない流儀の場合のPeano の公理

$0$ を自然数に含まない流儀の場合の自然数の集合上記の Peanoの公理の $0$ をすべて $1$ に書き換えれば良い。

この記事でのスタンス

この記事においては、次の観点から $0$ を含む流儀を採用した。

  • Peano の公理の具体例を構成する際、$0$ を含まない流儀を採用すると不自然になる
  • 自然数の加法に単位元がほしい
  • 集合論などでは $0$ を含む流儀が普通である

落ち穂拾い

ISO 80000-2:2009

数学記号について定義している国際規格であるISO 80000-2:2009 によると、

Item No.Sign, Symbol, expressionMeaning, verbal equivalentRemarks and examples
2-6.1$\mathbf{N}$the set of natural numbers,
the set of positive integers and zero
$\mathbf{N}=\{0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ \ldots\}$
$\mathbf{N^{*}}=\{1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ \ldots\}$
Other restrictions can be indicate in an obvious way, as shown below.
$\mathbf{N_{>5}}=\{ n \in \mathbf{N} \vert n > 5 \}$
The symbols $\mathrm{I\! N}$ and $\mathbb{N}$ are also used.

と定義されている。日本語訳は以下のようになる。

番号記号、記号列意味注意および例
2-6.1$\mathbf{N}$自然数の集合、
正の整数およびゼロからなる集合
$\mathbf{N}=\{0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ \ldots\}$
$\mathbf{N^{*}}=\{1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ \ldots\}$
他の制限については以下のように表記できる。
$\mathbf{N_{>5}}=\{ n \in \mathbf{N} \vert n > 5 \}$
記号$\mathrm{I\! N}$や$\mathbb{N}$もまた使われる。

Peano範疇性に対する逆数学

Peanoシステムの範疇性定理については良く知られた事実であるが、この範疇性に対する逆数学として以下のような結果が知られている。

定義(Peanoシステム)

$ A\subseteq\mathbb{N},i\in A,f\colon A\to A$ の組 $\langle A,i,f\rangle$ をシステム (system) という。システム $\langle A,i,f\rangle$ がPeanoシステム (Peano system) であるとは、以下の条件を満たすことである。

  1. $i\notin\mathrm{rng}(f)$ である。
  2. $f$ は単射である。
  3. 任意の $X\subseteq A$ に対して、$i\in X$ かつ、任意の $x\in\mathbb{N}$ に対して $x\in X$ ならば $f(x)\in X$ であると仮定する。このとき $X=A$ である。

また $\langle \mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ を標準的なPeanoシステムという。ここで $\mathrm{suc}(x):=x+1$ である。

定義(同型)

Peanoシステム $\langle A,i,f\rangle$ が $\langle \mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ に同型 (isomorphic) であるとは全単射 $\sigma\colon A\to\mathbb{N}$ で以下を満たすようなものが存在することである。

  1. $\sigma(i)=0$ である。
  2. 任意の $x\in A$ に対し $\sigma(f(x))=\mathrm{suc}(\sigma(x))$ である。

またPeanoシステム $\langle A,i,f\rangle$ が $\langle \mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ にほとんど同型 (almost isomorphic) であるとは、任意の $x\in A$ に対して、ある $n\in\mathbb{N}$ が存在し、$a=f^n(x)$ が成り立つことである。

定理(Simpson–横山)

$\mathsf{RCA}^*_0$ 上で以下は同値である。

  1. $\mathsf{RCA}_0$ 。
  2. 任意の $\langle\mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ にほとんど同型なPeanoシステムは $\langle\mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ に同型である。
  3. 任意の無限集合 $C\subseteq \mathbb{N}$ に対し、単射 $f\colon\mathbb{N}\to C$ が存在する。
  4. 任意の無限集合 $C\subseteq \mathbb{N}$ 、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $C$ の部分集合で濃度が $n$ となるものが存在する。

また$\mathsf{RCA}^*_0$ 上で以下は同値である。

  1. $\mathsf{WKL}^*_0$ 。
  2. 任意のPeano構造は $\langle\mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ にほとんど同型である。

同様に $\mathsf{RCA}^*_0$ 上で以下は同値である。

  1. $\mathsf{WKL}_0$ 。
  2. 任意のPeano構造は $\langle\mathbb{N},0,\mathrm{suc}\rangle$ に同型である。

出典

  • Simpson, Stephen G., and Keita Yokoyama. "Reverse mathematics and Peano categoricity." Annals of Pure and Applied Logic 164.3 (2013): 284–293.

関連項目



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Last-modified: 2020-10-14 (水) 20:53:57 (14d)