速習コース「位相空間論の基礎事項」

本稿においては、位相空間論に関するmathpedia の記事を読み進めるにあたって、必要な知識を解説する。本稿の内容は一般的な位相空間論についての入門的文献よりも少ない、最低限度のものとなっている。しかし、位相空間の言葉で書かれた議論について、その意味を知るための充分な内容をここに記述したいと考えている。

本稿においては、位相空間・連続写像の概念について述べ、また位相空間論における基本的な操作を定義し、最後に分離公理・コンパクト性について紹介する。

内容には適宜変更が加えられる。

0. 基礎的な事項についてのページ一覧

1. 位相空間

位相空間の定義の詳細については,位相空間を参照されたい。

定義 1.1 (位相空間の定義)

位相空間とは、集合 $X$ とその開集合系と呼ばれる $X$ の部分集合族 $\mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X)$ との組 $(X,\mathcal{O})$ であって、次の公理を満たすものをいう。

  • (O1) $\emptyset,X\in \mathcal{O}$
  • (O2) $U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}$
  • (O3) $\{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}$

(位相空間より引用)

注意 1.2

正式には位相空間は $(X,\mathcal{O})$ という組のことであるが、通常は $\mathcal{O}$ を暗黙のうちに固定されたものとみなし、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ と呼ぶかわりに、簡単に「位相空間 $X$」と呼ぶことが多い。開集合系 $\mathcal{O}$ の要素を、位相空間 $X$ の開集合という。開集合系 $\mathcal{O}$ が与えられているということは、$X$ の部分集合のうちどれが開集合であり、どれが開集合でないかが定まっているということに他ならない。

(位相空間より引用)

定義 1.3 (閉集合の定義)

位相空間 $X$ の部分集合 $F$ が閉集合であるとは、集合 $X-F$ が $X$ の開集合であることをいう。

命題 1.4 (閉集合の有限和)

位相空間 $X$ の有限個の閉集合 $F_1,\ldots, F_n$ について、$F_1\cup\ldots\cup F_n$ は $X$ の閉集合である。

証明

$X-(F_1\cup \ldots \cup F_n)=(X-F_1)\cap \ldots \cap (X-F_n)$であるため、位相空間の定義より命題は示される。

命題 1.5 (閉集合の交叉)

位相空間 $X$ の閉集合の族 $\mathcal{F}$ について、$\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$ は閉集合である。

証明 $X-\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F=\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ である。このとき、$X-F$ は $X$ の開集合であるため、$\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ は $X$ の開集合である。よって、$\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$ は閉集合である。

2. 閉包・内部

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ の閉包とは、$A$ を含む最小の閉集合のことである。また、$A$ の内部とは、$A$ に含まれる最大の開集合のことである。

定義 2.1 (閉包の定義)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下の性質を満たす $\overline{A}$ を ($X$ における) $A$ の閉包という。

  • $\overline{A}$ は閉集合
  • $A \subset \overline{A}$
  • $A$ を含むような任意の閉集合 $B$に対し、$\overline{A}\subset B$

命題 2.2 (閉包の一意存在性)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A$ の閉包は唯一つ存在する。

証明 $\mathcal{F}$ を $A$ を含む $X$ の閉集合全体の集合とする。このとき、$A\subset X$であるため、$X\in \mathcal{F}$ が成り立つ。よって $\mathcal{F}$ は空でない。従って $\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F\subset X$ は存在する。*1

このとき、$\overline{A}=\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ とおくと、任意の$F \in \mathcal{F}$ について $A\subset F$ であるため、$A \subset \overline{A}$ が成り立つ。次に、$\overline{A}$ は閉集合の交叉であるため閉集合である。

さらに、任意の $A\subset B$ を満たす閉集合 $B$ について、$B \in \mathcal{F}$ が成り立つため、$\overline{A} \subset B$ が成り立つ。よって $\overline{A}$ は $A$ の閉包である。

任意の$A$ の閉包 $A'$ について、$\overline{A}$ は $A\subset \overline{A}$ を満たす閉集合であるため、$A'\subset \overline{A}$ が成り立つ。逆に、$A'$ は $A\subset A'$ を満たす閉集合であるため、$\overline{A}\subset A'$ が成り立つ。よって $A'=\overline{A}$ である。したがって $A$ の閉包は $\overline{A}$ のみである。

注意 2.3

以下、$A$ の閉包について、$\overline{A}$ と表記する。しかし、どの位相空間で閉包を取っているか明らかでない場合は、$\mathrm{Cl}_X(A)$ と表記する。

定義 2.4 (内部の定義)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下の性質を満たす $A^\circ$ を ($X$ における) $A$ の内部という。

  • $A^\circ$ は開集合
  • $A^\circ\subset A$
  • 任意の開集合 $U\subset A$に対し、$U\subset A^\circ$

命題 2.5 (内部の一意存在性)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A$ の内部は唯一つ存在する。

証明 命題 2.2 により、$X-A$ の閉包 $\overline{X-A}$ は存在する。このとき、$A^\circ = X-\overline{X-A}$ とおくと、$A^\circ$ は開集合であり、また $X-A\subset \overline{X-A}$ より $A^\circ \subset A$ が成り立つ。

また、$U\subset A$ なる開集合 $U$ について、$X-A\subset X-U$ が成り立つ。$X-U$ は閉集合であるため、$\overline{X-A}\subset X-U$ が成り立つ。よって、$U \subset A^\circ$ である。以上により、$A^\circ$ は $A$ の内部である。

内部の唯一性については、命題 2.2 と同様の議論によって示される。

注意 2.6

以下、$A$ の内部について、$A^\circ$ と表記する。しかし、どの位相空間で内部を取っているか明らかでない場合は、$\mathrm{Int}_X(A)$ と表記する。

命題 2.7 (閉包・内部の関係)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下が成り立つ。

  • $A^\circ = X - \overline{X-A}$
  • $\overline{A} = X - (X-A)^\circ$

証明 命題 2.5 の証明より、$A^\circ = X - \overline{X-A}$ が示される。残る式も同様に示される。

命題 2.8 (閉集合の閉包・開集合の内部)

位相空間 $X$ の閉集合 $F$ と開集合 $U$ について、以下が成り立つ。

  • $\overline{F}=F$
  • $U^\circ =U$

証明 定義より $F$ は $F$ の閉包である。同様に $U$ は $U$ の内部である。

命題 2.9 (閉包・内部の単調性)

位相空間 $X$ の部分集合 $A \subset B$ について、以下が成り立つ。

  • $\overline{A} \subset \overline{B}$
  • $A^\circ \subset B^\circ$

証明 $A\subset B\subset \overline{B}$ より、$\overline{A} \subset \overline{B}$ が成り立つ。また、同様に $A^\circ \subset A \subset B$ より、$A^\circ \subset B^\circ$ が成り立つ。


$A$ の閉包 $\overline{A}$ について、$\overline{A}$ に属する点の特徴付けを与える。

命題 2.10 (閉包の特徴付け)

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下は同値である。

  1. $x \in \overline{A}$
  2. $x \in U$ なる任意の開集合 $U$ について、$A\cap U$ は空でない

証明 1. $\Rightarrow$ 2. を示す。$x \in U$ なる開集合であって $A\cap U=\emptyset$ なるものが存在するならば、$A \subset X-U$ より、$\overline{A}\subset X-U$ が成り立つ。よって $x \notin \overline{A}$ が成り立つ。

2. $\Rightarrow$ 1. を示す。$x \notin \overline{A}$ ならば、$x \in X-\overline{A}$ が成り立つ。このとき、$X-\overline{A}$ は $X$ の開集合であり、$A \cap (X-\overline{A})=\emptyset $ である。


閉包を取る操作と集合の有限和について、以下のような関係が存在する。

命題 2.11 (閉包と有限和の関係)

位相空間 $X$ とその有限個の部分集合 $A_1,\ldots,A_n$ について、$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}=\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。

証明 命題 2.9 より、$\overline{A_i}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が成り立つため、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が言える。また、$A_i \subset \overline{A_i}$ より、$A_1 \cup \ldots \cup A_n \subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。ここで、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ は閉集合の有限和であるため閉集合である。このことにより、$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}\subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。以上により$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}=\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が示される。

3. 近傍

定義 3.1 (近傍の定義)

位相空間 $X$ の点 $x \in X$ について、$N \subset X$ が $x$ の近傍であるとは、$x\in U \subset N$ なる開集合 $U$ が存在することをいう。

定義 3.2 (開近傍の定義)

位相空間 $X$ の点 $x \in X$ について、$U \subset X$ が $x$ の開近傍であるとは、開集合 $U$ であって $x \in U$ が成り立つことをいう。

4. 部分空間・部分位相

定義 4.1 (部分空間・部分位相の定義)

位相空間 $X$ とその部分集合 $Y$ について、集合 $Y$ に以下の方法で定まる位相を部分位相という。

  • $V \subset Y$ が開集合 $\Leftrightarrow$ ある $X$ の開集合 $U$ が存在し、$V=Y\cap U$

また $X$ の部分集合 $Y$ に対して、$X$ の部分空間 $Y$ とは、上記の方法で $Y$ に位相を入れた位相空間のことを指す。

定義 4.2 (開部分空間・閉部分空間)

位相空間 $X$ の開部分空間とは、$X$ の開集合に部分空間としての位相を入れたものである。また $X$ の閉部分空間とは、$X$ の閉集合に部分空間としての位相を入れたものである。

命題 4.3 (部分空間の閉集合)

位相空間 $X$ の部分空間 $Y$ について、$G \subset Y$ が $Y$ の閉集合であることは、ある $X$ の閉集合 $F$ が存在して $G=Y\cap F$ が成り立つことと同値である。

証明 $G \subset Y$ が $Y$ の閉集合であることは $Y-G\subset Y$ が $Y$ の開集合であることと同値である。これはある $X$ の開集合 $U$ によって $Y-G=Y \cap U$ が成り立つことと同値である。これは $G=Y \cap (X-U)$ が成り立つことと同値である。これはある $X$ の閉集合 $F$ が存在して $G=Y\cap F$ が成り立つことと同値である。

命題 4.4 (開部分空間の開集合)

位相空間 $X$ の開部分集合 $U$ について、$U' \subset U$ が $U$ の開集合であることと $X$ の開部分集合であることは同値である。

証明 $U' \subset U$ なる $X$ の開集合について、$U'\cap U=U'$ であるため、$U'$ は $U$ の開集合である。逆に、$U'$ が $U$ の開集合であるなら、ある $X$ の開集合 $V$ について $U'=U\cap V$ が成り立つが、このとき $U'$ は $X$ の開集合である。

命題 4.5 (閉部分集合の閉集合)

位相空間 $X$ の閉部分集合 $F$ について、$F' \subset F$ が $F$ の閉集合であることと $X$ の閉部分集合であることは同値である。

証明 命題 4.3 を用いることで、命題 4.4 と同様の議論に帰着できる。

5. 商空間・商位相

定義 5.1 (商空間・商位相の定義)

位相空間 $X$ と集合 $Y$ とその間の集合の全射 $f:X\to Y$ が存在するとき、$Y$ に以下の方法で定まる位相を $f$ による商位相という。

  • $V \subset Y$ は開集合 $\Leftrightarrow$ $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合

またこのとき、商位相をもった位相空間 $Y$ を $X$ の $f$ による商空間という。

命題 5.2 (商空間の普遍性)

位相空間 $X$, $Z$ と $X$ の $h:X\to Y$ による商空間 $Y$ について、連続写像 $f:X\to Z$ が以下を満たすとする。

  • ある集合の写像 $g:Y\to Z$ が存在して $f=g\circ h$ が成り立つ

このとき、$f=g\circ h$ が成り立つような $g$ はただひとつ存在してこれは連続写像である。

証明 $g$ の唯一性は $h$ の全射性より明らかである。

$Z$ の開集合 $U$ に対して、$f^{-1}(U)$ は $f$ の連続性より開集合であることが言える。このとき $f^{-1}(U)=h^{-1}(g^{-1}(U))$ が成り立つが、$Y$ の位相の定め方より、$g^{-1}(U)$ は $Y$ の開集合である。よって $g$ は連続である。

6. 連続写像

定義 6.1 (連続写像の定義)

位相空間 $X$, $Y$ について、連続写像 $f:X\to Y$ とは、写像 $f:X\to Y$であって、任意の $Y$ の開集合 $V$ について、$f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合となるもののことである。

(連続写像より引用)

命題 6.2 (連続写像の合成)

位相空間 $X$, $Y$, $Z$ と連続写像 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ について、(集合の写像としての)合成 $g\circ f:X\to Z$ は連続写像である。

証明 $Z$ の任意の開集合 $W$ について、$g^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合である。このとき $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$ は$X$ の開集合である。よって $g\circ f$ は連続写像である。

命題 6.3 (恒等写像の連続性)

位相空間 $X$ について、恒等写像 $\mathrm{id}_X:X\to X$ は連続である。

証明 集合 $U$ について、$\mathrm{id}_X^{-1}(U)=U$ が成り立つ。

定義 6.4 (同相写像の定義)

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が同相写像であるとは、連続写像 $g:Y\to X$ であって $g\circ f=\mathrm{id}_X$ かつ $f\circ g=\mathrm{id}_Y$ なるものが存在することをいう。

注意 6.5 (同相写像と恒等写像との相異)

同相写像 $f:X\to Y$ が存在したとき、「$X$ と $Y$ を同一視する」という表現を用いることがあるが、$X$ と $Y$ は一般に異なる対象であることに注意されたい。

定義 6.6 (開写像・閉写像の定義)

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が開写像であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ について $f(U)$ が開集合となることをいう。また、$f$ が閉写像であるとは、$X$ の任意の閉集合 $F$ について $f(F)$ が閉集合となることをいう。

定義 6.7 (埋め込みの定義)

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が埋め込みであるとは、$f(X)\subset Y$ に部分位相を入れたものについて値域を $f(X)$ に制限した写像 $X\to f(X)$ が同相写像であることをいう。

7. 開基・基本近傍系

定義 7.1 (開基の定義)

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の開基(あるいは、$\mathcal{O}$ の開基)であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

定義 7.2 (基本近傍系の定義)

位相空間 $X$ と点 $x\in X$ を含むような $X$ の開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の点 $x$ についての基本近傍系であるとは、任意の開集合 $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

命題 7.3 (有限交叉に閉じる部分集合族と位相)

集合 $X$ と集合族 $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(X)$ について、$\mathcal{A}$ が以下の性質を満たすとする。

  • $A,B\in \mathcal{A}$ ならば $A\cap B\in \mathcal{A}$

このとき、$\mathcal{A}$ を開基とする $X$ の位相が一意に存在する。

証明 まず、命題のような位相が存在すれば一意的であることを示す。位相 $\mathcal{O}_1$, $\mathcal{O}_2$ がともに $\mathcal{A}$ を開基とする位相であったとしよう。$U\in\mathcal{O}_1$ とすると、$\mathcal{A}$ が $\mathcal{O}_1$ の開基であることから、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{A}$ で $x\in A_x\subset U$ となるものが選べる。すると、$U=\bigcup_{x\in U} A_x$ であるが、$\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_2$ の開基であるので、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{O}_2$ であり、よって $U\in\mathcal{O}_2$ である。したがって、$\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$ である。同様に、$\mathcal{O}_2\subset\mathcal{O}_1$ であるので、$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$ である。

次に、命題のような位相が存在することを示す。$\mathcal{A}$ のいくつかの要素の和集合で表される集合全体の族を $\mathcal{O}$ とする。このとき、$\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相の定義を満たすことを示そう。

$\mathcal{O}$ の要素の有限個の開集合の交叉が再び開集合となることを示せばよい(それ以外の公理については簡単に示される)。そのためには、$\mathcal{O}$ の二個の要素 $U$, $V$ に対して $U\cap V\in\mathcal{O}$ を示せば十分である。$U$, $V$ は、ある集合族 $\mathcal{B},\mathcal{C}\subset \mathcal{A}$ に対して、$U=\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$, $V=\bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$ と表すことができる。すると、$U\cap V=\bigcup_{B\in \mathcal{B}, C\in \mathcal{C}} B\cap C$ が成り立つ。このとき仮定より $B\cap C\in \mathcal{A}$ であるため、 $U\cap V\in\mathcal{O}$ である。

$\mathcal{A}$ は位相 $\mathcal{O}$ の開基となる。実際、任意の $V\in\mathcal{O}$ は $\mathcal{A}$ の要素の和集合であるため、各 $x\in V$ について $A\in \mathcal{A}$ で $x\in A\subset V$ となるものが存在する。また、$\mathcal{O}$ の定め方より $\mathcal{A}$ の任意の要素は $\mathcal{O}$ に属する。

8. 和空間・積空間

定義 8.1 (和空間の定義)

位相空間の族 $\{X_i | i\in \Lambda\}$ について、和空間 $\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i$ とは、直和集合 $\coprod_{i\in \Lambda} X_i$ 上に以下で位相を定めたものをいう。

  • $U\subset \coprod_{i\in \Lambda} X_i$ が開集合 $\Leftrightarrow$ 任意の $i\in \Lambda$ について $U\cap X_i$ は $X_i$ の開集合

命題 8.2 (和空間の普遍性)

以下が成り立つ。

  • $a\in \Lambda$ について、自然な写像 $s_a: X_i\to \bigoplus_{i\in \Lambda} X_a$ は連続写像である
  • 任意の連続写像の組 $f_i:X_i\to Y$ について、連続写像 $F: \bigoplus_{i\in \Lambda} X_i\to Y$ であって、$F\circ s_i=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する

証明 位相の定め方により、明らかに $s_a$ は連続写像である。

連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F:\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i\to Y$ であって、$F \circ s_i=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$Y$ の開集合 $V$ について、すべての $i\in \Lambda$ について $f_i^{-1}(V)$ は $X_i$ の開集合である。$f_i^{-1}(V)=s_i^{-1}(F^{-1}(V))$ であるため、位相の定め方により、$F^{-1}(V)$ は $\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合である。よって $F$ は連続である。

定義 8.3 (積空間の定義)

位相空間の族 $\{X_i | i\in \Lambda\}$ について、積空間 $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ とは、直積集合 $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ 上に以下で位相を定めたものをいう。

  • 添字集合 $\Lambda$ の有限部分集合 $\Lambda'$ と $j\in \Lambda'$ ごとに定めた $X_j$ の開集合 $U_j$ について、$\prod_{j\in \Lambda'}U_j \times \prod_{i\in \Lambda-\Lambda'} X_i$ として表すことのできる $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ の部分集合の族を $\mathcal{A}$ とおく。ここで $\mathcal{A}$ は有限交叉を取る操作について閉じているため、$\mathcal{A}$ を開基に持つ位相がただひとつ存在する。この位相を集合$\prod_{i\in \Lambda} X_i$ に入れる。

$\mathcal{A}$ に含まれる開集合のことを、命題 8.4 において基本開集合と呼ぶ。

命題 8.4 (積空間の普遍性)

以下が成り立つ。

  • $a\in \Lambda$ について、自然な写像 $p_a:\prod_{i\in \Lambda} X_i\to X_a$ は連続写像である
  • 任意の連続写像の組 $f_i:Y\to X_i$ について、連続写像 $F: Y\to \prod_{i\in \Lambda}X_i$ であって、$p_i\circ F=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する

証明 $a\in \Lambda$ と $X_a$ の開集合 $U_a$ について、$p_a^{-1}(U_a)=U_a\times \prod_{i\in \Lambda-\{a\}} X_i$ が成り立つ。位相の定め方より、これは $\prod_{i\in \Lambda}$ の開集合であるため、$p_a$ は連続である。

連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F: Y\to \prod_{i\in \Lambda}X_i$ であって、$p_i\circ F=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$\prod_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合は、基本開集合の合併である。基本開集合の $F$ による逆像が開集合であれば、$F$ は連続であることが示される。

基本開集合 $V=\prod_{j\in \Lambda'}U_j\times \prod_{i\in \Lambda-\Lambda'} X_i$ について、$F^{-1}(V)=\bigcap_{j\in \Lambda'}f_j^{-1}(U_j)$ が成り立つ。よって $F^{-1}(V)$ は開集合である。

9. 分離公理

分離公理を参照されたい。

定義 9.1 ($T_0$ 性の定義)

位相空間 $X$ が $T_0$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U$ が存在して、「$x \in U$ かつ $y \notin U$」または「$y \in U$ かつ $x \notin U$」が成り立つようにできることをいう。

定義 9.2 ($T_1$ 性の定義)

位相空間 $X$ が $T_1$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U$ が存在して、$x \in U$ かつ $y \notin U$ とできることをいう。

定義 9.3 ($T_2$ 性の定義)

位相空間 $X$ が $T_2$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U,V$ が存在して、$x \in U$ かつ $y \in V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

$T_2$ 空間のことを、ハウスドルフ空間ともいう。

定義 9.4 ($T_3$ 性の定義)

位相空間 $X$ が $T_3$ であるとは、任意の点 $x \in X$ と閉集合 $x \notin F \subset X$ について、ある開集合 $U,V$ が存在して、$x \in U$ かつ $F \subset V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

定義 9.5 (正則性の定義)

位相空間 $X$ が正則であるとは、$T_1$ かつ $T_3$ であることをいう。

定義 9.6 ($T_4$ 性の定義)

位相空間 $X$ が $T_4$ であるとは、任意の閉集合 $F,G \subset X$ であって $F\cap G=\emptyset$ であるものについて、ある開集合 $U,V$ が存在して、$F \subset U$ かつ $G \subset V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

定義 9.7 (正規性の定義)

位相空間 $X$ が正規であるとは、$T_1$ かつ $T_4$ であることをいう。

命題 9.8 (分離公理の強弱)

「正規 $\Rightarrow$ 正則 $\Rightarrow$ $T_2$ $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$」が成り立つ。

証明 定義より、「$T_2$ $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$」 が成り立つ。

次に、「正規 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。そのために以下の補題を示す。

  • $X$ が $T_1$ 空間であるためには、任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であることが必要十分である。

補題の証明:まず、必要性を示す。$X$ を $T_1$ 空間とし、$x\in X$ とする。各 $y\in X-\{x\}$ に対して、$y\in U_y$ かつ $x\notin U_y$ を満たすような開集合 $U_y$ が選べる。すると $\bigcup_{y\in X-\{x\}} U_y=X-\{x\}$ であるから、$X-\{x\}$ は開集合の和集合として表され、よって $X-\{x\}$ は開集合となるから $\{x\}$ は閉集合である。次に、十分性を示す。任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であるとする。$x, y\in X$ を異なる点とすると、$\{y\}$ は閉集合であるから、$U=X-\{y\}$ は開集合であり、$x\in U$ および $y\notin U$ を満たす。よって、$X$ は $T_1$ 空間である。

以下、「正則 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。$X$ を 正則空間とする。異なる点 $x,y\in X$ に対して、$\{y\}$ は閉集合であるため、$X$ の $T_3$ 性より、$U\cap V=\emptyset$ なる開集合であって $x\in U$ かつ $y\in V$ が成り立つものが取れる。よって $X$ は $T_2$ 空間である。

「正規 $\Rightarrow$ 正則」を示す。正則空間は $T_1$ 空間であるので、一点集合は閉集合である。したがって、正規性は正則性を導く。

10. コンパクト空間

コンパクト空間を参照されたい。

定義 10.1 (開被覆の定義)

位相空間 $X$ の開集合からなる族 $\mathcal{U}=\{U_i\,|\,i\in I\}$ が開被覆であるとは、$\mathcal{U}$ の要素すべての和集合が $X$ に一致することをいう。 すなわち、$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ が成り立つことをいう。

定義 10.2 (コンパクト空間の定義)

位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。

  • $X$ の任意の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の有限部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

A1. 位相空間論に関する事項についてのページ一覧

位相空間論に関する事項を参照されたい。

関連項目

ネットによる位相空間論においては、ネット?を基本的な概念とする立場のもと位相空間論の基礎的事項について解説をしている。こちらも参考にされたい。フィルターによる位相空間論ネットによる位相空間論の翻訳記事である。どちらの定式化も(ほぼ)等価なものであるが、ネットの概念はしばしば解析学において用いられるのに対し、フィルターの概念はしばしば集合論や代数学において登場する。

コンパクト性とその周辺においては、コンパクト空間に関するいくつかのトピックについて取り扱っている。

参考文献

  • Ryszard Engelking, "General Topology", 1989

外部リンク



*1 $\mathcal{F}$ が空集合でないことを確かめる議論は必要である。

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Last-modified: 2020-10-24 (土) 22:29:06 (3d)