集合論

集合 (しゅうごう、set) とは、数学において用いられる基礎概念の一つ。19世紀後半、数学が抽象化、厳密化する過程でカントール等によって確立された。現在では多くの数学的対象は集合に何らかの構造(代数構造や位相構造など)が付加されたものと考えられているため、集合は数学の土台あるいは言語として非常に重要な概念となっている。そのためどの分野を学ぶ際にも集合の基礎知識は不可欠となっている。 また、20世紀後半から圏論が発展し、こちらも数学の基礎のひとつとして重要性を高めている。

本稿では「数学を学ぶための言葉」として必要最低限の「集合と論理」について説明する。したがって集合論自体を公理的に取り扱うことはしない。集合論を公理的に扱った公理的集合論はリンク先を参照されたい。現代数学を初めて学ぶ際は、線形代数学微分積分学をまなびつつ、以下に述べるような集合論の初歩程度の知識を身につけて代数系位相空間などに進むのが定番となっている。

集合論の初歩

かっこで囲った項目は多少後回しにしても差し支えない。また、近年の圏論の重要性を踏まえて以下のリンク先の説明に圏論を意識した表現も用いる。

論理と命題

集合の基本的な用語、集合の演算

全称記号と存在記号

写像、像、逆像、写像のグラフ

写像の合成、写像の拡大と制限

選択公理について

単射、全射、全単射、逆写像

演算と代数構造

関係、同値関係、商集合

部分集合族、べき集合

初歩的な順序集合?

Zornの補題?

集合の濃度

可算集合、非可算集合?

濃度の演算?

集合論に関連する事項

集合論に関連する事項を参照されたい。

参考文献

外部リンク



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Last-modified: 2020-10-07 (水) 01:41:53 (20d)