$3$次の対称群

3次の対称群 $S_3$ は、位数?6の有限群?である。この二面体群 $D_6$ や一般線形群? $GL_2(2)$ と同型?である。このページではこれらについて述べる。

同型な群

以下の群は同型である。

  • 3次の対称群 $S_3$
  • 位数6の二面体群 $D_6$
  • 一般線形群? $GL_2(2)$
  • 特殊線形群? $SL_2(2)$
  • 射影一般線形群? $PGL_2(2)$
  • 射影特殊線形群? $PSL_2(2)$

$S_3 \simeq D_6$

$S_3$ の位数は $3!=6$ である。 $(\begin{matrix}1&2\end{matrix}),(\begin{matrix}1&3\end{matrix})\in S_3$について、 $$(\begin{matrix}1&2\end{matrix})(\begin{matrix}1&3\end{matrix})=(\begin{matrix}1&3&2\end{matrix})$$ $$(\begin{matrix}1&3\end{matrix})(\begin{matrix}1&2\end{matrix})=(\begin{matrix}1&2&3\end{matrix})$$ より、$S_3$ は非アーベル群?である。位数6の非アーベル群は同型の違いを除いて二面体群に限られるから、$S_3 \simeq D_6$ である。

$D_6 \simeq GL_2(2)$

$GL_2(2)$ の位数は $(2^2-1)(2^2-2)=6$ である。 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\in GL_2(2)$について、 $$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$$ より、$GL_2(2)$ は非アーベル群である。位数6の非アーベル群は同型の違いを除いて二面体群に限られるから、$GL_2(2) \simeq D_6$ である。

$GL_2(2) \simeq SL_2(2) \simeq PGL_2(2) \simeq PSL_2(2)$

$\mathbb{F}_2^\times=\{1\}$より、任意の $A\in GL_2(2)$ について $\det A=1$ となるので成り立つ。

データ

表示$G=\langle a,x\vert a^3=x^2=e, xax=a^2\rangle$
要素$e,a,a^2,x,ax,a^2x$
位数6
元の最大位数3
アーベル群いいえ
巡回群いいえ
単純群いいえ
可解群はい
冪零群いいえ
部分群$\{e\},\{e,a,a^2\},\{e,x\},\{e,ax\},\{e,a^2x\},G$
正規部分群$\{e\},\{e,a,a^2\},G$
特性部分群$\{e\},\{e,a,a^2\},G$
中心$\{e\}$
中心の構造$C_1$
導来部分群$\{e,a,a^2\}$
導来部分群の構造$C_3$
Frattini部分群$\{e\}$
Frattini部分群の構造$C_1$
自己同型群の構造$S_3$

関連項目



トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2020-09-27 (日) 20:30:19 (200d)