Kleinの四元群 †
Kleinの四元群(クラインのしげんぐん、Klein four-group)とは有限群?の一種で、同型?の違いを除いて唯一の巡回的でない位数?4の群のことである。この群は次のような解釈を持つ。
- 直積群? $C_2 \times C_2$
- 位数4の二面体群 $D_4$
- 位数4の基本アーベル群? $E_4$
Kleinの四元群は巡回群でない群の中で最小の位数を持つ。また、二面体群でありながらアーベル群?であるなど、例外的な性質が重要になることも多い。
定義 †
直積群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型な群をKleinの四元群という。
表記 †
単に $C_2 \times C_2$ と書かれるほか、$K_4$、$V_4$、$V$ などとも書かれる。また、二面体群や基本アーベル群として $D_4$ や $E_4$ と書かれることもある。
データ †
| 表示 | $G=\langle a,b\vert a^2=b^2=e, ab=ba\rangle$ |
| 要素 | $e,a,b,ab$ |
| 位数 | 4 |
| 元の最大位数 | 2 |
| アーベル群 | はい |
| 巡回群 | いいえ |
| 単純群 | いいえ |
| 可解群 | はい |
| 冪零群 | はい |
| 部分群 | $\{e\},\{e,a\},\{e,b\},\{e,ab\},G$ |
| 正規部分群 | $\{e\},\{e,a\},\{e,b\},\{e,ab\},G$ |
| 特性部分群 | $\{e\},G$ |
| 中心 | $G$ |
| 中心の構造 | $C_2 \times C_2$ |
| 導来部分群 | $\{e\}$ |
| 導来部分群の構造 | $C_1$ |
| Frattini部分群 | $\{e\}$ |
| Frattini部分群の構造 | $C_1$ |
| 自己同型群 | $\mathop{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{Set}}\{a,b,ab\}$ |
| 自己同型群の構造 | $D_6$ |
関連項目 †
![[Mathpedia]](image/pukiwiki.png "[Mathpedia]")
