#author("2020-09-27T17:21:35+09:00","default:Zassy","Zassy")
#author("2020-10-06T15:15:08+09:00","default:Zassy","Zassy")
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#norelated
*位数1~100の有限群の分類 [#m5a97108]
群の分類は、数学における問題のひとつである。その難しさには、群の構造自体が複雑多岐にわたるものであることや、今のところ分類がひとつの統一された手順によって進められていないこと、いくつもの要因が挙げられる。本稿においては、位数1以上位数100以下の有限群の構造を分類し、その証明を述べることを目標とする。

OEIS (The On-line Encyclopedio of Integer Sequences) には、非負整数 $n$ について位数 $n$ の群の同型類の個数を並べた数列が提示されている。https://oeis.org/A000001 を参照されたい。
#contents

* 凡例 [#ne854b85]
- $C_n$: 位数 $n$ の[[巡回群]]
- $D_n$: 位数 $n$ の[[二面体群]]
- $Q_n$: 位数 $n$ の[[一般四元数群]]
- $S_n$: $n$ 次の[[対称群]]
- $A_n$: $n$ 次の[[交代群]]

* 一覧 [#a08524d7]

|位数|位数の素因数分解|群の分類|証明|補足|>|h
|1|$1$|$C_1$|自明|||
|2|$2$|$C_2$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|3|$3$|$C_3$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]| $A_3$ と同型。||
|4|$2^2$|$C_4$|[[$\small p^2$>#cls-ord-p-square]]|||
|~|~|$C_2\times C_2$|~|位数最小の非巡回群。([[個別記事>Kleinの四元群]])||
|5|$5$|$C_5$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|6|$2\times 3$|$C_6$|[[$\small 2p$>#cls-ord-2p]]|||
|~|~|$S_3$|~|位数最小の非可換群。 $D_6$ と同型。([[個別記事>3次の対称群]])|~|
|7|$7$|$C_7$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|8|$2^3$|$C_8$||| [[龍孫江さんの解説動画:https://www.youtube.com/watch?v=amXdtua6iLE]]|
|~|~|$C_2\times C_4$|~||~|
|~|~|$C_2\times C_2 \times C_2$|~||~|
|~|~|$D_8$|~||~|
|~|~|$Q_8$|~||~|
|9|$3^2$|$C_9$|[[$\small p^2$>#cls-ord-p-square]]|||
|~|~|$C_3\times C_3$|~||~|
|10|$2\times 5$|$C_{10}$|[[$\small 2p$>#cls-ord-2p]]|||
|~|~|$D_{10}$|~||~|
|11|$11$|$C_{11}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|12|$2^2\times 3$|$Q_{12}$||||
|~|~|$C_3 \times C_4$|~||~|
|~|~|$A_4$|~||~|
|~|~|$D_{12}$|~||~|
|~|~|$C_2 \times C_2 \times C_3$|~||~|
|13|$13$|$C_{13}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|14|$2\times 7$|$C_{14}$|[[$\small 2p$>#cls-ord-2p]]|||
|~|~|$D_{14}$|~||~|
|15|$3\times 5$|$C_{15}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|16|$2^4$|$C_{16}$||||
|~|~|$C_4 \times C_4$|~||~|
|~|~|$(C_2 \times C_2) \rtimes C_4$|~||~|
|~|~|$C_4 \rtimes C_4$|~||~|
|~|~|$C_8 \times C_2$|~||~|
|~|~|$C_8 \rtimes C_2$|~||~|
|~|~|$D_{16}$|~||~|
|~|~|$SD_{16}$|~||~|
|~|~|$Q_{16}$|~||~|
|~|~|$C_4 \times C_2 \times C_2$|~||~|
|~|~|$D_8 \times C_2$|~||~|
|~|~|$Q_8 \times C_2$|~||~|
|~|~|$(C_4 \times C_2) \rtimes C_2$|~||~|
|~|~|$C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2$|~||~|
|17|$17$|$C_{17}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|18|$2\times 3^2$|$D_{18}$||||
|~|~|$C_9 \times C_2$|~||~|
|~|~|$D_6 \times C_3$|~||~|
|~|~|$(C_3 \times C_3) \rtimes C_2$|~||~|
|~|~|$C_3 \times C_3 \times C_2$|~||~|
|19|$19$|$C_{19}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|20|$2^2\times 5$| ||||
|21|$3\times 7$|$C_{21}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]], [[$\small 21$>#cls-ord-21]]|||
|~|~|$C_{7}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$|~||~|
|22|$2\times 11$|$C_{22}$|[[$\small 2p$>#cls-ord-2p]]|||
|~|~|$D_{22}$|~||~|
|23|$23$|$C_{23}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|24|$2^3\times 3$| ||||
|25|$5^2$|$C_{25}$|[[$\small p^2$>#cls-ord-p-square]]|||
|~|~|$C_5\times C_5$|~||~|
|26|$2\times 13$|$C_{26}$|[[$\small 2p$>#cls-ord-2p]]|||
|~|~|$D_{26}$|~||~|
|27|$3^3$| ||||
|28|$2^2\times 7$| ||||
|29|$29$|$C_{29}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|30|$2\times 3\times 5$| ||||
|31|$31$|$C_{31}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|32|$2^5$| ||||
|33|$3\times 11$|$C_{33}$ |[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|34|$2\times 17$| ||||
|35|$5\times 7$|$C_{35}$ |[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|36|$2^2\times 3^2$ | ||||
|37|$37$ |$C_{37}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|38|$2\times 19$ | ||||
|39|$3\times 13$|$C_{39}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]],[[$\small 39$>#cls-ord-39]]|||
|~|~|$C_{13}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$|~||~|
|40|$2^3\times 5$| ||||
|41|$41$ |$C_{41}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|42|$2\times 3\times 7$ | ||||
|43|$43$ |$C_{43}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|44|$2^2\times 11$ | ||||
|45|$3^2\times 5$ | ||||
|46|$2\times 23$ | ||||
|47|$47$ |$C_{47}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|48|$2^4\times 3$ | ||||
|49|$7^2$ |$C_{49}$|[[$\small p^2$>#cls-ord-p-square]]|||
|~|~|$C_7\times C_7$|~||~|
|50|$2\times 5^2$ | ||||
|51|$3\times 17$|$C_{51}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|52|$2^2\times 13$ | ||||
|53|$53$ |$C_{53}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|54|$2\times 3^3$ | ||||
|55|$5\times 11$|$C_{55}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]], [[$\small 55$>#cls-ord-55]]|||
|~|~|$C_{11}{\rtimes}_{\phi}C_{5}$|~||~|
|56|$2^3 \times 7$ | ||||
|57|$3\times 19$|$C_{57}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]],[[$\small 57$>#cls-ord-57]]|||
|~|~|$C_{19}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$|~||~|
|58|$2\times 29$ | ||||
|59|$59$ |$C_{59}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|60|$2^2\times 3\times 5$ | ||||
|61|$61$ |$C_{61}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|62|$2\times 31$ | ||||
|63|$3^2\times 7$ | ||||
|64|$2^6$ | ||||
|65|$5\times 13$ | ||||
|66|$2\times 3\times 11$ | ||||
|67|$67$ |$C_{67}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|68|$2^2\times 17$ | ||||
|69|$3\times 23$ |$C_{69}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|70|$2\times 5\times 7$ | ||||
|71|$71$ |$C_{71}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|72|$2^3\times 3^2$ | ||||
|73|$73$ |$C_{73}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|74|$2\times 37$ | ||||
|75|$3\times 5^2$ | ||||
|76|$2^2\times 19$ | ||||
|77|$7\times 11$ |$C_{77}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|78|$2\times 3\times 13$ | ||||
|79|$79$ |$C_{79}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|80|$2^4 \times 5$ | ||||
|81|$3^4$ | ||||
|82|$2\times 41$ | ||||
|83|$83$ |$C_{83}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|84|$2^2\times 3\times7$ | ||||
|85|$5\times 17$ |$C_{85}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|86|$2\times 43$ | ||||
|87|$3\times 29$ |$C_{87}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|88|$2^3\times 11$| ||||
|89|$89$ |$C_{89}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|90|$2\times 3^2\times 5$ | ||||
|91|$7 \times 13$ |$C_{91}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|92|$2^2\times 23$ | ||||
|93|$3\times 31$ |$C_{93}$ |[[$\small pq$>#cls-ord-pq]],[[$\small 93$>#cls-ord-93]]|||
|~|~|$C_{31}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$|~||~|
|94|$2\times 47$ | ||||
|95|$5\times 19$ |$C_{95}$|[[$\small pq$>#cls-ord-pq]]|||
|96|$2^5\times 3$ | ||||
|97|$97$ |$C_{97}$|[[$\small p$>#cls-ord-p]]|||
|98|$2\times 7^2$ | ||||
|99|$3^2 \times 11$ | ||||
|100|$2^2\times 5^2$ | ||||


* 分類に使用する定理 [#oc3cbdf4]
** Lagrangeの定理 [#k00d9f91]
[[Lagrangeの定理]]を参照。
** Sylowの定理 [#u0c48551]
[[Sylowの定理]]を参照。
** 有限生成アーベル群の構造定理 [#k0cd9ef4]
[[有限生成アーベル群の構造定理]]を参照。
** 有限アーベル群の基本定理 [#k0cd9ef4]
[[有限アーベル群の基本定理]]を参照。

*特定の形の位数のケースの分類 [#gf744069]

** 位数が$p$の群の分類 [#cls-ord-p]
$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$である。よって、$1 \neq g \in G$をひとつ固定すると、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < p$によって$h=g^i$と表すことができる。よって、$G$は巡回群$C_p$と同型である。

** 位数が$p^2$の群の分類 [#cls-ord-p-square]
$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群 $G$ は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。

''証明''

$G$ がアーベル群とすると、有限アーベル群の基本定理より $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。以下、 $G$ がアーベル群に限ることを示す。

Lagrangeの定理から $G$ の部分群および商群の位数は $1,p,p^2$ のいずれかである。$G$ が非アーベルならば中心 $Z(G)$ による商群 $G/Z(G)$ は巡回群にならないので、 $\#(G/Z(G))=p^2$ でなければいけない。したがって、 $\#Z(G)=1$ となる。一方、 $G$ は $p$-群であることから $Z(G)$ は自明群にはなりえないのでこれは不可能。ゆえに、 $G$ はアーベル群に限る。

//$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p^2$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$または$p^2$である。
//よって群$G$は$p$-群であり、中心$\mathop{\mathrm{Z}}(G)$は非自明であることが分かる。
//$g$として$G$を生成するものが取れる場合については、$g$を巡回群$C_{p^2}$の生成元に写す写像が群同型を与える。
//$g$として$G$を生成するものが取れない場合については、$1$でない中心の元$g$を一つとる。
//$g$の取り方より生成する部分群$\langle g \rangle$は位数が$1$でも$p^2$でもないため$p$であることが分かり、この部分群に含まれない$G$の元$h$が存在する。
//この$h$を取る。
//ここで$\langle g, h \rangle$は$\langle g \rangle$を真に含む$G$の部分群であるから位数は$p$より真に大きく、最初の注意より$p^2$でなければならない。
//よって$\langle g, h \rangle=G$が成立する。
//ここで$g$は$G$の中心$\mathop{\mathrm{Z}}(G)$の元であったことを思い出すと$h$と可換であり、
//$G$は互いに可換な生成系$\{g,h\}$を持つので可換である。
//このことに注意して$G=\langle g \rangle \times \langle h \rangle \cong C_p\times C_p$が成立することを示す(この結果は、有限生成アーベル群の基本定理を認めれば直ちに従う)。
//二つ目の同型は$g$および$h$の位数が$p$であることより分かる。
//一つ目の等号は、内部直積であることを示せばよく、$G$が可換であるから$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle =\{1\}$を示せば十分である。
//部分群の交叉は部分群であることに注意すると、$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle$の位数は$1$か$p$である。
//$p$と仮定すると、$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle\subset\langle g \rangle$が成立することと$\langle g \rangle$の位数が$p$であることとより両者は一致し、$\langle g \rangle=\langle h \rangle$を得る。
//これは$h$の取り方に矛盾する。
//
//以上より位数$p^2$の群$G$は$C_{p^2}$または$C_p\times C_p$と同型である。

** 位数$2p$の群の分類 [#cls-ord-2p]
$p$を奇素数とし、$G$を位数$2p$の有限群とする。このときSylowの定理により、位数$p$の正規部分群$H$が存在する。$H$を生成する元をひとつ固定して、これを$g$とおく。ここで、位数$2$の元$t \in G$はSylowの定理により存在するため、これを任意にひとつ固定すると、ある整数$0 \leq i < p$によって$t^{-1}gt=g^i$と表せる。

このとき$t^{-1}=t$であることに注意する。$tg=t^{-1}g=g^it$より、$g=t^{-1}g^it=(t^{-1}gt)^i=g^{i^2}$が成り立つ。$g$の位数は$p$であったため、$i=1$または$i=p-1$が成り立つ。$i=1$の場合群$G$は$C_{2p}$に同型であり、$i=p-1$の場合群$G$は$D_{2p}$と同型である。

** 位数$pq$の群の分類 [#cls-ord-pq]
$q<p$ を素数とする。この時位数$pq$の群は
- $p\neq 1 $ mod $q$ の時 $C_{pq}$ と同型
- $p=1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ の他に非自明な半直積が存在し位数 $pq$ の[[フロベニウス群]]のどちらかと同型となる。

龍孫江氏による動画解説は[[こちら:https://www.youtube.com/watch?v=ItSqqnKiZNY]]。

*** 位数$21$の群の分類 [#cls-ord-21]
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\cong C_{6}, \phi(1):n\mapsto 2n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 2^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,2n,4n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 $2n,4n$ は互いに同型な半直積になる。

*** 位数$39$の群の分類 [#cls-ord-39]
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\cong C_{12}, \phi(1):n\mapsto 3n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 3^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,3n,9n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。

*** 位数$55$の群の分類 [#cls-ord-55]
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\cong C_{10}, \phi(1):n\mapsto 4n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 4^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,4n,5n,9n,3n$ の5種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。

*** 位数$57$の群の分類 [#cls-ord-57]
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\cong C_{18}, \phi(1):n\mapsto 7n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 7^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,7n,11n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。

*** 位数$93$の群の分類 [#cls-ord-93]
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\cong C_{30}, \phi(1):n\mapsto 5n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 5^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,5n,25n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。

* 個別の位数の群の分類 [#s530f695]

//** 位数$4$の群の分類 [#z00079d9] p^2の場合で十分なので一旦コメントアウト
//位数$4$の群$G$について、Lagrangeの定理により、その元の位数は$1$,$2$,$4$のいずれかである。ある元$g \in G$が位数$4$を持つとき、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < 4$によって$h=g^i$と表すことができるため、群$G$は巡回群$C_4$と同型となる。
//
//位数$4$の元を持たないとき、すべての元の位数は$1$または$2$である。群$G$の元を$1,a,b,c$と表記すると、以下が成り立つ。
//
//- $1 \cdot 1 = 1$
//- $1 \cdot a = a$
//- $1 \cdot b = b$
//- $1 \cdot c = c$
//- $a \cdot 1 = a$
//- $a \cdot a = 1$
//- $b \cdot 1 = b$
//- $b \cdot b = 1$
//- $c \cdot 1 = c$
//- $c \cdot c = 1$
//
//このとき、$a \cdot b$について、$a \cdot 1$, $a \cdot a$, $1 \cdot b$, $b \cdot b$とは異なる値を取る必要があるため、$a \cdot b = c$がわかる。同様の手順により、以下が成り立つ。
//
//- $1 \cdot 1 = 1$
//- $1 \cdot a = a$
//- $1 \cdot b = b$
//- $1 \cdot c = c$
//- $a \cdot 1 = a$
//- $a \cdot a = 1$
//- $a \cdot b = c$
//- $a \cdot c = b$
//- $b \cdot 1 = b$
//- $b \cdot a = c$
//- $b \cdot b = 1$
//- $b \cdot c = a$
//- $c \cdot 1 = c$
//- $c \cdot a = b$
//- $c \cdot b = a$
//- $c \cdot c = 1$
//
//このとき、この群は$C_2\times C_2$と同型である。

*関連項目 [#z65a7ab8]
-[[群論]]


#katex

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